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 mêmes principes et les mêmes règles s'étendent, comme on va le voir, aux 

 équations où se trouvent des termes à expos.inis fractionnaires, pour les- 

 quelles le (/egfre'j proprement dit, n'a plus de signification quant à l'objet dont 

 il s'agit, notauunent lorsque le terme le plus élevé de l'équation est de ceux-là. 



» Ce genre d'équations me semble avoir été très peu étudié; Lagrange 

 lui-même n'y fait point allusion dans son Traité sur la résolution des équa- 

 tions nwnérujues ('). Elles méritent pourtant d'y avoir leur place au même 

 titre que les autres, non seulement parce qu'on les rencontre dans les ap- 

 plications, mais encore parce que leur exclusion systématique laisserait la 

 théorie des équations incomplète. 



» XIV. Dans ce qui va suivre, je supposerai toujours que les deux 



termes a, /3 de chaque exposant fractionnaire - sont premiers entre eux, ce 

 qui est permis, de sorte qu'il y a seulement trois cas à considérer : 



a et [i impairs, 

 a pair, j3 impair, 

 a impair, /3 pair. 



Les deux premiers cas rentrent dans ceux qui ont été examinés dans la 

 seconde Partie et ne donnent lieu à aucune remarque nouvelle. La courbe 

 représentative de l'ensemble des termes de l'équation possède, comme 

 pour les équations où les exposants sont tous entiers, deux branches infi- 

 nies (plus ou moins festonnées), l'une dans la région positive desx, l'autre 

 dans la région négative. 



» Il n'en est plus de même dans le troisième cas. La courbe est alors 

 située tout entière à droite de l'axe O^, car une quantité négative — x'^ 

 ne saurait se trouver sous un radical pair, sans donner lieu à une valeur 

 imaginaire. En outre, elle se compose de plusieurs branches paraboliques 

 simultanées si, comme on doit le faire dans l'étude théorique de la ques- 

 tion, on laisse le signe de chaque radical indéterminé. 



('] M. Laguerre s'en est occupé incidemment dans un beau Mémoire, inséré au t. IX 

 (3° série) du Journal de Mathématiques, que j'ai eu occasion déjà de citer; mais je ne sache 

 pas qu'on l'ait fait avant lui, car le peu qu'en disent les auteurs, dans les Chapitres où ils 

 parlent de X évanouissement des radicaux, ne nie semble pas résoudre la question. Les pro- 

 cédés qu'ils indiquent sont, en effet, d'une application très restreinte; ils ont, en outre, le 

 défaut d'introduire, par le fait de la méthode d'élimination employée, des racines étran- 

 gères, difficiles à distinguer des autres^ qui ont au moins le grave inconvénient de déna- 

 turer complètement le laruclère de l'éciuation iju'on avait sous les yeux. En i>articulier, la 

 reclierche des niaximu et des inflexitins y devient à peu près iiiexlricabie. 



