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 » Il ne serait d'ailleurs pas plus général, dans ce cas, pour l'objet qu'on 

 se propose, de supposer à ]S un ordre de parité plus élevé que 2, cir il 

 faut toujours, en dernière analyse, en venir à exiraire une racine 

 carrée, et, sous ce dernier radical, il n'en peut exister aucun, d'ordre pair, 

 qui soit affecté d'un signe autre que -|-, puisqu'on ne s'occupe ici que de 

 la recherche des racines réelles. Ainsi les seules équations à étudier sont, 

 en définitive, de l'une des deux formes suivantes : 



1 I 2 



(i) ,T- +. . .-f- /).t'" -t-. . .-^qx"- -!-. . .4- tx'"-' -\-. . .+ ux- -H. . .-+- A„ = o, 



( 2 ) x'" -\-.. . + px'- -I- . . . + qx"^ + . . . 4- tx'"-' -}- . .-\-HX- -\-. . . + Ko= o, 



»2, /, . . ., a, y, ("î, . ., a', 7', î5', ... étant des nombres entiers positifs, et 

 l'équation étant ordonnée suivant les puissances décroissantes dex. 



» Si l'on désigne par n le nombre des termes qui, dans l'une ou l'autre 



de ces deux équations, ont des exposants de la forme •> on voit immé- 

 diatement : 



» Que la courbe se compose de 2" branches situées à droite de Oj-, 

 dont 2""' se dirigent finalement vers ^' = -+- co , tandis que les 2"~' autres 

 se dirigent finalement vers^- ^ — oo . 



» Comme je dois, faute d'espace, me borner ici à des indications géné- 

 rales, suffisantes pour faire bien comprendre le sujet, je prendrai tout de 

 suite un exemple, et, comme il est intéressant de pouvoir comparer les 

 résultats avec ceux qu'a fournis l'étude des équations à exposants entiers, 

 je choisirai d'abord l'équation générale à quatre termes, et successivement 

 des deux types ci-dessus (i) et (2). 



» XV. i" Soit donc 



a Y 



X ' -f- px'" -h qx' + A „ = o 



l'équation proposée, où l'on suppose ->/m>-i les coefficients pouvant 



être positifs ou négatifs. 



» Pour chaque signe (+ ou — ) attribué à p, la courbe complète se 

 compose de 2- = 4 branches infinies, situées à droite de 0/ : deux au-des- 

 sus deOo- (sauf les sinuosités passagères) et deux au-dessous de cet axe. 



» Cela posé, le Tableau suivant fait connaître le nombre maximum rie 

 racines réelles correspondant à chaque combinaison de signes des coeffi- 

 cients : 



