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pqp, (jp'\ p', pif; p; . • -, et où de même P' a des types semblables avec des 

 letlres accentuées. Il ne reste plus qu'à réduire chaque P à sa forme la 

 plus simple, c'est-à-dire à l'exprimer comme fonction linéaire de i,p, </, 

 pq — qp, et de même pourP'. Alors le numérateur de x ne contiendra 

 pins que des termes dont les arguments seront tous d'un des types sui- 

 vants (je remplace la moitié de pq — qp par [pq]) : 



r, pT, Tp', pTp', pYq\ 



[pq]T, T[p'q'\, pT[p'q'\, [pq\Vp\ {pq]V'[p' q']\ 



il faut y ajouter le type pqrTr'q'p', qui est déjà sous sa forme la plus simple 

 et n'exige aucune formule de réduction. 



M Je n'entreprendrai pas pour le moment de calculer les coefficients de 

 ces arguments, mais j'indiquerai du moins les formules de réduction qui 

 seules sont nécessaires pour effectuer ce calcul. Ce travail, bien digne d'at- 

 tirer l'attention de quelque jeune géomètre, peut très probablement amener 

 à des résultais qui, à l'aide d'une notation symbolique, pourront être pré- 

 sentés sous une forme d'une simplicité tout à fait inattendue et pour ainsi 

 dire providentielle. 3'en ai eu l'expérience pareille dans d'autres re- 

 cherches du même genre, dans la solution de certains cas d'équations 

 quaternionistiques du second degré. 



» Voici toutes les formules de réduction dont on aura besoin : 



p-=2{p)p-~p,, p'= [^\{pY-p.]p- 2{p)p„ 

 pq = [pq] -H {p)q + {q)p - {pq), 



(IP = - [P9] + {P)^ + (7)/' - (/'7)» 

 p-q = 2(p) [pq] + 2{p){q)p + {2p^- -p,)q - 2{p){pq), 



pqp = h{p)[pq] + [Hp){q)-2{pq)]p 



dans les formules on peut, au lieu de [pq], écrire V( V^V^). 



» Remarque. — Quand un nivellateur devient symétrique, c'est-à-dire 

 quand p ^ p\ q = q', . . ., alors les deux formes associées coïncident en une 

 seule dont le nivellant devient un invariant orthoyonul. 



» Qu'il me soit permis, avant de conclure, d'ajouter encore une petite 

 réflexion sur l'importance de la question traitée ici. Elle constitue, pour 

 ainsi dire, un canal qui, comme celui de Panama, sert à unir deux grands 

 océans, celui de la ihéorie des invariants et celui des quantités complexes 



