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 en jet :■. On doit pouvoir, en outre, trouver un troisième polynôme C, 

 d'ordre m — 2 en x, y, z et de degré m — 3 en x et y. Les polynômes A, 

 B, C satisfont à l'identité 



» Les conditions nécessaires que nous venons d'indiquer sont suffisantes, 

 en ajoutant toutefois que, dans le cas où il y a une courbe double, les sur- 

 faces 



A = o, B :r- G, C =-. o 



passent par la courbe double. 



» Dans ces conditions, l'intégrale (2) aura une valeur fuiie et déterminée 

 pour tout point simple de la surface situé à distance finie; elle aura une 

 valeur indéterminée^ mais finie, pour tout point double isolé de la surface, 

 et il en sera de même pour les points à l'infini. 



» On peut substituera la relation (3) une relation plus symétrique. La 

 forme rendue boniogène/(j:, ;•, z, t), de degré m, devra être telle que l'on 

 puisse trouver trois polynôtnes 0,, 6.,, O3, Ô,, d'ordre m — 3, satisfaisant à 

 la relation 



fl ^'/_ufl '^■^^fl '^-^'-ur, ^f-n 



et l'on doit avoir entre ces polynômes la relation 



t)9i dQ, dO-, ôe^ 

 d.r Or <):■ Ot 



» D'après les théorèmes précédents, ou saura reconnaître, élant donnée 

 une relation algébrique entre trois variables, s'il existe ou non des inté- 

 grales correspondantes de première espèce^ en désignant ainsi, par analogie, 

 les intégral'es qui restent toujours finies. Il n'en est pas ici comme dans le 

 cas des courbes algébriques; la surface la plus générale de degré m ne 

 possède pas d'intégrales de première espèce. 



» Nous considérerons comme indépendantes deux intégrales de première 

 espèce quand elles ne seront pas fonctions l'une de l'antre. Les surfaces du 

 second et du troisième ordre, étant unioursales, ne posséderont pas d'in- 

 tégrales de première espèce; c'est dans les surfaces du quatrième degré que 

 l'on rencontre les premières surfaces avec de telles intégrales, et une sur- 

 face du quatrième degré ne peut posséder plus d'une intégrale. 



» Si les coordonnées d'un point d'une surface s'expriment par des fonc- 



