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» Les différences de cosinus qui figurent dans ces expressions peuvent 

 d'ailleurs se remplacer par des produits de siinis, de manière à rendre A„ 

 et A(, calculables par logai'ithmes ('). 



» Pour développer sous la forme que nous venons de leur donner les 

 déterminants A^ et A,, on les ramène au déterminant de Vandermonde- 

 Cauchy, en faisant usage des relations 



cosma = 2'" ' cos"'rt 4- X, coi,'"'-a -+- 1^ cos"'-''a + . . . , 

 sin ma = sinû!(2"'~' cos"'~'rt + [j., cos'""' -+- (y.ocos"'"*rt 



•), 



dans lesquelles m désigne un entier quelconque, X,, X2, ..., p.,, [j.2, ... 

 étant des coelBcients dont l'expression en fonction de ni est indifférente 

 pour la présente analyse. 



» Le déterminant A^ ne peut s'annuler qu'autant que la somme ou la 

 différence de deux des arcs a, b, . . ., l tst nulle ou égale à un multiple de 

 277. Quant à A,, il est nul, lorsque deux des arcs a, b, ..., k satisfont à 

 l'une des conditions précédentes, ou bien lorsque l'un de ces arcs est zéro 

 ou un multiple de tt. Les arcs, que nous allons considérer, seront sup- 

 posés en dehors de ces conditions exceptionnelles. 



» 3. Je me propose maintenant de trouver ttiie fonction linéaire des cosi- 

 nus d'un arc et de ses n — i premiers multiples, qui, pour n -+- i valeurs données 

 de cet arc, prenne n -+- 1 valeurs correspondantes également données. 



» Soient 



(0 



Ao -f A, cos^-4- A2COS2X -I-. . .-I- A„cos«x ^^ (p[x) 



la fonction cherchée, et ao, a,, . . ., a„ les ?i + i valeurs données de x. Il 

 est clair qu'on obtiendra cette fonction, en éliminant les n-h- i indéter- 

 minées Ao, A, , . . ., A„ entre (i) et les n -+- i équations qu'on en déduit, en 

 y faisante successivement égal à a„, a, , . . ., «„. Le résultat sera 



cosx 

 cosao 



» » . f . . 



cosa,. 



COS2X 



COS2«o 



cos2a„ 



cos«x 

 cos«a„ 



cosnu,, 





= o: 



d'où, en développant et ordonnant par rapport aux éléments de la der- 



(') Nous supposerons celte transformation effectuée dans les déterminants que nous 

 ferons intervenir plus loin. 



