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ANAi.YSK MATHÉMATIQUE. — Sur T inversion des intégrales abéliennes. 

 Note de M. Appell, pr-'-sentée par M. Bouquet. 



« Dans leur Théorie der Abelschen Functionen, MM. Clebscli et Gordan 

 jî'Uiéraliseul le problème de l'inversion, en intégrant un système d'équa- 

 tions aux dérivées partielles, dans les premiers membres desquelles entrent 

 les intégrales abéliennes de première espèce et des intégrales normales de 

 troisième espèce; ils indiquent une méthode pour passer, par continuité, 

 de ce ca.s à celui où certaines intégrales de troisième espèce sont remplacées 

 par des intégrales normales de seconde espèce. Des exemples de l'intégra- 

 tion d'un tel système avaient été donnés auparavant par Rosenhain [Mé- 

 moires des Savants étrangers, i85i) et par Clebsch à l'occasion de ses re- 

 cherches sur les courbes de genre o et i [Journal de Crelle, t. 64). Enfin, 

 M. EWiol [Jnnales de l'Ecole Normale, 2^ série, t. XI), en étendant la mé- 

 thode de Riemann telle qu'elle a été exposée par M. Briot, a intégré un 

 système d'équations où figurent les intégrales de première espèce, avec des 

 intégrales normales de deuxième et troisième espèce. L'élude de ces diffé- 

 rents travaux conduit au théorème qui fait l'objet de cette Note. 



» Soient X et y deux variables imaginaires, liées par une relation algébrique 

 de genre o ou i et f,[x, j) une fonction rationnelle quelconque de jc et j; il 

 existe toujours un certain nombre [n — i) d'autres fonctions rationnelles de x 

 et y, 



?2(*',j), (^^[x^j), .., o„[x,y), 



possédant la propriété suivante : le système d'équations dijférenlielles 



'^((^"m Ti)^^, + 'p(('^2' r-^'^'^x-i H-.--H- z',[x„,j„)rlx„ = <'///,, 



(0 



?-<(-■«■.. Ji;^-^! + f,>{^2^ 7'2)</j^^ +••■-+- ^«(j:-», r„V/x„ = r/M„ 

 définit les n points analytiques 



en fonction de u^, Ui, ..., «,„ de telle façon que les n valeurs 



P.(.r|,r,\ K(xo,y2), ••••. Rl!-3^',M r«)i 



