( IOI2 ) 



mule d'interpolation applicable à une fonciion quelconque. Mais, aupa- 

 ravant, je vais donner des deux premières formules une démonstration 

 a posteriori fort simple, et analogue à celle bien connue que Caiichy a 

 donnée de la formule d'interpolation de I.agrange. 



» 2. L'expression de (,'{jc) montre clairement que cette fonction est une 

 fonction entière de degré n de cosjt, et, par suite, une fonction linéaire 

 des sinus et cosinus de x et de ses n — i premiers multiples. D'ailleurs, 

 pour ic = «,, le second membre, on le voit immédiatement, se réduit à 

 (p(a,), /étant supposé ntil ou égal à l'un quelconque des« premiers nombres 

 entiers. La fonction (p(jr) satisfait donc bien, à la fois, aux conditions d'élr<' 

 linéaire par rapport aux cosinus de jc et de ses Ji — i premiers multiples, 

 et de prendre les valeurs qui lui sont assignées, pour les n -+- r valeurs 

 données de la variable. 



» Pareillement, d'après la formide (2), ^~—' est une fonction entière de 



degré >i — 1 àe cosj?, et, par suite, une fonction linéaire des cosinus de x 

 et de ses n — 2 premiers multiples. Ou en conclut immédiatement, à cause 

 de l'identité 



sin.r cos772a: = :^sin(/rt + i).r — .';sin(m — i).r, 



qued;(x) est une fonction linéaire des sinus et cosinus de .r et de ses 72 — i 

 premiers multiples. D'ailleurs, le second membr.^ de (2) se réduit à 

 i|;(a,), pour JT = «,(/ = I, 2, ..., «). La fonction '\i{jc) satisfait donc bien 

 à toutes les conditions qui lui ont été imj30sées. 



» 3. Cherchons maintenant une fonciion linéair^e des sinus et cosinus d'un 

 arc X et de ses ii — j premiers multiples, qui, pour 2« -H i valeurs données de 

 cet arc, dont l'une est nulle, et les autres sont deux à deux cc/ales et de signes 

 contraires, prenne a/j ^- i valeurs données correspondantes. 



» Soient 



Ao + A, cosj: -(-... -h A„cos«j: + B, sinx + . . + B„sianx =:/(^x) 



la fonction cherchée, et o, ±: a,, ± a.^, . ., ± «„ les in + i valeurs don- 

 nées de X, les arcs a,, «.,... , «„ n'étant assujettis qu'aux restrictions sui- 

 vantes ; [° qu'aucun d'eux ne soit nul ni égal à un multiple den; 2° que la 

 somme ou la différence de deux quelconques d'entre eux ne soit ni nulle 

 ni un multiple de 27:. 



» En conservant à <p(j;) et à 4'("^') ^'^ signification qui leur a été donnée 

 précédemment, on a évidemment 



(3) cp{.7:) + ^[x) =/{x), 'f:,x\-^{x) = /[-xy, 



