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 viens de donner une solution particulière, assez étendue pour se prêter aux 

 conditions les plus ordinaires des applications, et la solution d'un pro- 

 blème analogue, dans lequel on suppose données les valeurs de la fonction 

 et d'un certain nombre de ses premières dérivées, pour une valeur particu- 

 lière de la variable. » 



ANAI.YSF, MATHÉMATIQUE. — Stirime généralisation des /ractio}2S continues . 

 Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Hermite. 



« Il existe, pour l'approximation simultanée de |>lusieurs quantités, des 

 procédés dont Lejeune-Dirichlet et M. Kronecker ont donné une ihéorie 

 très générale. Toutefois il peut y avoir encore quelque intérêt à étudier 

 spécialement et en détail quelques-uns de ces procédés. C'est ce qui m'en- 

 gage à signaler un mode particulier d'approximation, qui, à côté de cer- 

 tains inconvénients, présente l'avantage d'une grande simplicité et d'une 

 interprétation géométrique facile. 



)) Rappelons d'abord l'interprétation géométrique des fractions continues 

 que j'ai donnée dans le XLVIP Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique. 

 Soit a la quantité dont il s'agit d'approcher. Construisons le réseau à la 

 Bravais, à maille carrée, dont tous les sommets ont pour coordonnées des 

 nombres entiers. Il s'agit de trouver sur ce réseau des points qui se rappro- 

 chent beaucoup de la droite j = eux. Le réseau peut être engendré par 

 une infinité de parallélogrammes, de surface i, qui peuvent lui servir de 

 maille. Choisissons un d'entre eux OABC, qui soit tout entier dans le pre- 

 mier quadrant et qui soit traversé par la droite j ^^ a.x. Cette droite sor- 

 tira du parallélogramme par le côté AB ou par le côté BC; supposons que 

 ce soit par le côté AB, soit D le point symétrique de O, par rapport au 

 milieu de AB. Le parallélogramme OADB jouira des mêmes propriétés que 

 le parallélogramme OABC. On obtiendra ainsi une suite indéfinie de pa- 

 rallélogrammes jouissant de ces propriétés. Ce sont les côtés communs à 

 deux ou à plusieurs de ces parallélogrammes qui correspondent aux ré- 

 duites. 



» Soit maintenant à approcher simultanément de deux quantités posi- 

 tives a et p. Construisons la droite / = a.x, z —- ^x. Envisageons l'assem- 

 blage à la Bravais dont tous les sommets ont leurs trois coordonnées entières. 

 Il y aura une infinité de parallélépipèdes, de volume i, qui pourront servir 

 de maille à cet assemblage. Soient A, B, C trois sommets du réseau, tels 

 que le tétraèdre OABC ait pour volume ^. Complétons les parallélogrammes 



