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ANALYSE MVTHRMATIQUE. — Sur les coupures des fonctions. Note 

 de M. Lagcerke, présentée par M. Hermite. 



« Considérons l'intégrale double 



dont le champ est une aire A qne, pour fixer les idées, je supposerai simple 

 et oùf[x, J', z) et g{.T,j) désignent des fondions réelles qui, quel que soit 

 z, sont finies et bien déterminées dans le champ d'intégration. 



» Si, pour certaines valeurs de z, la courbe a,[x,r) = z traverse le 

 champ d'intégration, l'intégrale devient infinie, et la fonction F(z), en 

 général finie et déterminée, a pour coupure nue portion K de l'axe des œ. 



» Soit AF la différence des valeurs de la fonction aux deux bords de la 

 coupure, en sorte que, z désignant une des valeurs réelles pour lesquelles 

 F (s) est discontinu et >. une quantité infiniment petite positive, on ait 



AF=r F(:; +\i)~- Y{z. -\i); 



en employant la méthode donnée par M. Hermite dans le cas des intégrales 

 simples, un calcul facile donne l'expression suivante de cette différence 



AF = 2 Tr/f" 4^^^^^, 



où y doit être remplacé par sa valeur tirée de l'équation g[x, y) = z; si 

 ion considère la courbe représentée par cette équation, l'intégrale s'étend 

 tout le long de la portion de cette courbe qui est comprise dans le champ 



d'intégration, et le facteur -rj- — r doit être pris positivement. 



') Soit, comme application, la fonction 



qui, pour è = i, se réduit à la fonclion hypergéométrique F(a, ]3, a, œ). 

 » Sous les conditions a > o, jS > o, « > a., Z> >- /3, on a 



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F(<F(T) G{a,[.,a,h,.) 



