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 La fonction G est ainsi définie pour tous les points du plan, sauf sur une 

 coupure K allant du point + i au point -+- xi . 

 » Le long de cette coupure, on a 



r(«)r(|3)r(«-a)r(6-p) 

 r(a)r(6j 



où / doit être remplacé par — -, en posant x = ^ ^> l'égalité précé 



dente devient 



r(a)rIf3)r(..-a)r(/.-p) 



= 2171 z'-''{:. - ,)«»-*-«-'^-' r\*-P-< (i _ ty-^-< [i - (i - :.)tY-''df, 



d'où 



aivria) rlb) 



\ ^G=F7- 



(i) r(«-f-6-«-|3)r(«)r(p) 



( X ='-"(s - ly+^-^-M F(/; - a, h - [i, n ^ b - y. - ^, i - z). 



L'étude de la fonction G, lorsqu'on la prolonge d'une façon continue, se 

 ramène donc à l'étude du prolongement des fonctions élémentaires z-^, 

 (r — zy et de la fonction hypergéométrique. 



» Celle-ci est, d'ailleurs, un cas particulier de la fonction G; en faisant 

 /; = I , on a 



^ P(«' f'' «' ^) = r(. + .-a-p)r(a)r(p) 



X:;'-«(:;-i)«-<'-PF(i -a, 1-/3,1 +rt-a-/3,i-z), 



formule qui, bien qu'établie sous certaines restrictions, subsiste pour toutes 

 les valeurs de a, |3 et a. 

 » En particulier, on a 



la formule précédente donne 



r(a)r(i-^)' 



d'ailleurs, un calcul direct donne 



A( I — z)~i^ = 2 «71 sin jji.7r, 



