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espèce. On peut même faire en sorte que toutes ces racines, dont le 

 nombre total est m, soient des nombres entiers, et, si l'on veut, les plus 

 petits nombres entiers possibles (je donnerai ailleurs les détails de ce pro- 

 cédé fort simple, ainsi que la démonstration du théorème sur lequel il est 

 fondé). 



» De là découle immédiatement la conclusion suivante, qui intéresse la 

 doctrine. 



» La règle de Descaries, lorsqu'on ne considère que les équations com- 

 plètes, s'énonce habituellement ainsi : 



» Une équation quelconque, complète, ne peut avoir plus de racines posi- 

 tives que de variations, ni plus de racines négatives que de permanences. 



» Ce qu'on vient de dire montre une chose de plus : c'est que, pour 

 quelque espèce de l'équation que ce soit, pourvu qu'elle soit complète, on 

 peut toujours déterminer une infinité de systèmes de valeurs numériques 

 des coefficients, tels que, pour chacun de ces systèmes, l'équation possède 

 effectivement et précisément autant de racines réelles positives que de varia- 

 tions et autant de racines réelles négatives que de permanences ('). 



» Cela n'était pas évident et, si je ne me trompe, n'avait pas été dit. 



)' Eu terminant, je ne veux pas omettre de signaler le lien qui existe 

 entre ces résultats et les ingénieuses et profondes recherches de M. André, 

 bien qu'ils n'en dérivent pas et n'aient pas été inspirés par elles. » 



(') Ce résultat était annoncé dans la Note qui termine ma Communication du 22 sep- 

 tembre dernier (voir Comptes rendue, t. XCIX, p. 4^3), où je n'entendais d'ailleurs 

 parler, sous ce lapport, que des équations complètes, d'espèce quelconque. 



Quant aux équations incomplètes, la question est plus complexe. Dans le cas le plus 

 simple, où l'équation n'est privée que d'un seul terme, ce n'est plus le binôme x± a qu'on 

 doit faire intervenir comme multiplicateur, mais bien le trinôme [.x ±a] (.r ±6), a et b 

 étant deux nombres indéterminés : réels, si le terme manquant est compris entre deux 

 termes de signes contraires; imaginaires conjugués, si les deux termes adjacents ont le 

 même signe. S'il manque deux termes consécutils, le multiplicateur à introduire est le pro- 

 duit de trois facteurs du premier degré; etc. Je me propose de revenir sui' ce sujet. 



