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« J';ii cherché d'abord à déterminer quelles sont les surfaces du qua- 

 trième ordre qui possèdent des intégrales de première espèce. J'ai Irouvé 

 que toutes ces surfaces peuvent se ramener, par un changement linéaire de 

 variables, soit à la surface réglée 



jc'-{az- -t- aI) — z -i-c) -h 2ccy{n'z- -h 2b' z -h c') 



-h j--{(i"z- H- 2h"z-\- c") = o, 

 qui admet l'intégrale 



f 



y riz 



[oz'-i- ibz-i-c) -hf{a' :'-f- ■2b'z~i- c'y 



soit à la surface de révohition 



(a;-H- v-)-+ 2(x- + ;--)Z, + Z, = o 



(Zo et Z,, désignant deux polygones de degré 2 et 4 en ;), qui admet l'inté- 

 grale 



j 



-J'- 



» Il est ailleurs aisé de voir que toutes les surfaces réglées et toutes les 

 surfaces de révolution admettent des intégrales de première espèce, à 

 moins, bien entendu, qu'elles ne soient unicurs^des. 



» Si THie surface admet une intégrale de première espèce u, réductible 

 aux intégrales elliptiques, les courbes u = const. sont algébriques. 



» Si l'on peut tracer sur une surface une courbe nnicursale, et si u est 

 une intégrale de première espèce quelconque de cette surface, la valeur 

 de u sera la même tout le long de la courbe. 



» De même, si la surface admet un point conique du second ordre, 

 dont le cône tangent soit indécomposable, la valeur de u en ce point co- 

 nique sera déterminée. 



» Si l'on peut tracer sur une surface deux séries de courbes unicursales, 

 elle n'aura pas d'intégrale de première espèce; si, sur une surface non nni- 

 cursale, on peut tracer une série de courbes unicursales, de telle façon 

 que par chaque point de la surface passe, en général, une seule de ces 

 courbes, elle aura des intégrales de première espèce. 



» Supposons qu'une surface soit engendrée par l'c limin.ition de deux 



