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ALGÈBRE. — Sur l'équation linéaire trinôme en matrices d'un ordre quelconque. 



Note de M. Stlvester. 



« Pour résoudre l'équation trinôme pxp'+ qocq + r — o (où tontes les 

 lettres désignent des matrices du même ordre w) sous sa forme symétrique, 

 Cl) a besoin de connaître l'équation identique à un nivellateur de cet ordre 

 à deux couples de matrices, ce qui équivaut virtuellement à connaître le 

 déterminant d'un nivellateur à trois de ces couples. Mais, sans avoir re- 

 cours à cette méthode générale, il existe, comme on va le voir, un moyen 

 pins court et plus direct pour résoudre l'équation et exprimer x sous la 

 forme essentiellement bonne d'une fraction réduite, si l'on est d'accord à 

 se dispenser de la condition que le luunémteur soit symétrique. 



» A cet effet, on peut multiplier l'équation, à volonté, on par 7"'( )p'~' 

 ou par/j~'( )7'~'. Choisissons le premier de ces deux multiplicateurs et 

 écrivons q~' p = 9, q p'^ = — '\, — 7~' 'p'~' = p-', alors on obtient l'équa- 

 tion (fX — x<li = p. (mais déjà avec inie brèche de symétrie, par la raison 

 du choix d'une entre deux choses pareilles). Eu multipliant cette équation 

 par le nivellateur f'{ ) -+- '/-' ( )'l -h (i>'~^{ )A= + . . . + ( j'^' (disons U.) et 

 en écrivant U,p. = p,+t> on obtient la suite d'équations 



<px — x<\i = p, 9^17 — -ri]/- = fjLo, 9'j; — xl^ = f;.3, ..., (p'^x — X ■])"' = p^. 



n Soient Bo, B,, . . ., B^^et Cq, C,, . . , C,^ les coefficients des deux formes 

 associées aux deux systèmes p, q et p', q' respectivement; alors, en vertu 

 d'un théorème général en matrices ('), on aura 



C„A'-+C,'i"-' + ... + C„=o, B„-B,9 + ... + (-)'"B„9,= o. 



» Avec l'aide de ces deux équations et de la suite précédente, on peut 

 déduire une équation de l'une ou de l'autre des denx formes Ma; = N ou 

 xM = N. Faisons le choix (qui amène encore une fois une brèche de symé- 

 trie) de la première. 



)> On anra 



(C„9"4- C„_, 9"-' +. . .+ C, 9 + Co)x = C„|Ao+ C„_, -x„_, +. . .+ c, ij.. 

 Or, selon la théorie ordinaire d'élimination, on peut déterminer 3 et Tî 



(M Ainsi, par exemple, si p, q sont des qiiaternions, on a 



rp^{p-'qY—lS{Vp\q][p-'q)-i-'rq^=0. 



