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 deux fondions chacune du degré (w — i) en 9 (traité comme une quantité 

 ordinaire), telles que 



0)-l 



&[Bo - B, '^ + . . . + (- rB„(p-] + H(Ce,?" + C„_, f 



sera égal à R, le contre-résultant des deux formes associées à [p, q) 

 o\ {p',q') (') respectivement, et l'on aura 



x= —^ , 



et ainsi x sera déterminé. 



» Si [1. est zéro, alors, afin que x ne soit pas zéro, le R doit devenir zéro, 

 comme nous avons déjà trouvé dans une Note précédente. En général, si R 

 (le contre-résultant des deux formes adjointes k p,qel p', q' dans l'équation 

 pxp' -\- qocq' -\- r ^ o) s'évanouit, l'équation ne peut pas admettre une 

 solution en même temps actuelle et déterminée; sans autres conditions, la 

 solution deviendra idéale; avec conditions convenables, elle peut redevenir 

 actuelle, mais contiendra (selon les circonstances) une ou plusieurs con- 

 stantes arbitraires. 



» Hamilton, dans ses Lectures, a considéré l'équation trinôme pour les 

 quaternions, mais il n'en a pas poussé la solution, c'est-à-dire la valeur de 

 l'inconnue, à sa forme finale dans laquelle le dénominateur doit être un 

 scalar (je dis doit être), parce que, ici comme dans toutes les équations 

 en matrices, c'est le dénominateur de l'inconnue convenablement exprimé 

 dont l'évanouissement est le critérium pour distinguer le cas où la solution 

 est actuelle et déterminée d'avec les cas où elle devient ou idéale ou indé- 

 terminée. 



» En combinant le résultat ici obtenu avec celui de notre Note précé- 

 dente, on voit qu'on est entré en pleine possession de la solution de l'équa- 

 tion Na; = r dans les deux cas où le nivellateur N est dé l'ordre a et d'une 

 étendue quelconque ou bien de l'étendue 2 et d'un ordre quelconque. 



» Bemarque. — On peut objecter que le numérateur de l'expression 

 trouvée pour x dans l'équation trinôme contient des combinaisons de q~^ p, 

 q'p \ q~' rp'~^ et que, conséquemment, x pourrait devenir idéal à cause de 

 l'évanouissement du déterminant de // ou de q sans que le contre-résul- 

 tant R s'évanouisse. Pour répondre à cette objection, soient D', A les 

 déterminants de p' et de q~* ; alors, en se servant des équations identiques 



(') C'est-à-dire le icsultant des fiinctiiins multipliées par S^ et H ci-dessus. 



