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intérêt; parmi ces applications, une des pins simples est relative aux sur- 

 faces algébriques dont les coordonnées peuvent s'exprimer par des fonc- 

 tions uniformes quadruplement périodiques de deux paramètres. Je de- 

 mande la permission d'énoncer ici une proposition générale concernant 

 ces surfaces. 



» Étant donnée une surface d'ordre m 



f{x,jr,z) = o, 



n'ayant que les singularités ordinaires considérées dans la Note citée, 

 cherchons comment on pourra reconnaître si l'on peut exprimer les coor- 

 données x,j, z d'un point quelconque par des fonctions quadruplement 

 périodiques de deux paramètres, et cela de telle manière qu'à un point 

 quelconque de la surface ne corresponde qu'un seul système de valeurs 

 des deux paramètres, abstraction faite des multiples des périodes. Les con- 

 ditions nécessaires et suffisantes pour qni\ en soit ainsi peuvent être formu- 

 lées de la manière suivante : 



» La surface proposée a une courbe double d'ordre — et elle possède 



deux intégrales de différentielles totales de première espèce 



rBcix—Xf/y r^idx— k^dy 



J Â ^^ J 71. '"' 



pour lescjuelles le déterminant AB, — A, B nest pas identicjuerrrent nul. 



» Le nombre m est nécessairement pair, et il résulte des conditions 

 précédentes que la surface n'a pas de points doubles isolés; de plus, le genre 

 de la surface est égal à l'unité. 



» Les deux nitégrales précédentes auront quatre paires de périodes si- 

 multanées, et les deux équations aux différentielles totales 



f/ii, 



A - ''" 



donneront pour x et y des fonctions uniformes, quadruplement pério- 

 diques, de II et V. 



» Nous avons montré comment on pourrait reconnaitie si une suiface 

 admet des intégrales de première espèce, et les trouver quand elles existent; 

 le problème proposé est donc complètement résolu. 



» Une section plane quelconque de la surface est de degré m et de 



