( I'5") 



» Pour le démontrer, considérons l'intégrale 



l=f iM .7- 



» En développant la différentielle en série convergente, on voit facile- 

 ment que n'est autre chose que le second membre de la formule (2). 



» On a, d'autre part, 



J i — txj[z)z — x— af[z] 



c'est-à-dire, d'ai)rès les hypothèses, 



I <p(«] 



iTti I — (/.f'[a) 



» Remarque. — 11 serait facile de tirer la formule de Lagrange de la for- 

 mule (2). A la vérité, ce serait restreindre la généralité de la première. 

 Mais la formule (2), dans les cas où elle s'applique, est quelquefois plus 

 commode que celle de Lagrange. 



» Premier exemple. — Dans le problème de Kepler, l'anomalie excen- 

 trique est donnée par l'équalion 



(3) z =: ic -t- esins. 



Duhamel, dans son Traité de Mécanique, développe l'anomalie vraie 

 suivant les puissances dee. Il emploie pour cela la série de Lagrange et ne 

 donne pas la loi du développement. La formule (2) y conduit sans peine. 

 On a, en effet, en désignant par p le rayon vecteur, 



p cos Q + c ^= a cos 2. 



Eliminant p entre cette équation et l'équation polaire de l'ellipse 



p ( I + e cos j = — , 



on obtient 



/ , > I I + e cos 9 



4) = ■ —• 



' ■ I — ecoss I — e- 



Soit a la racine de l'équation (3). En prenant (f{z) = r , la formule (2) 

 donne 



I "^ c" d"- . „ 

 = I 4- \ — sui".r, 



I — c cos« ^^ 1.2...// d.r." 



