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physique de ces neiges et de ces eaux, la température produit là des effets 

 au moins aussi sensibles que sur notre planète, et que le monde de Mars 

 n'est pas dans un état glaciaire. » 



ALGÈBRE. — Sur les criteria des divers genres de solutions multiples communes 

 à deux équations. Note de M. R. Peuui\, présentée par M. Halphen. 



« Soient u, v deux polynômes entiers en x des degrés »i, « ; E leur résul- 

 tant. En conservant les notations de ma précédente Communication, ces 

 polynômes et leurs dérivées de tout ordre sont liés par mn 4- i relations, 

 savoir : 



j R= R, „.'-'.+ Boit-- -^ (R,o-i'-!- 2R,,wç;^^-R,,,'.'=) 



j -1- 3j (R:,„«-'4- . . . 1 . . ., 



et les mn qui s'en déduisent en differentiant mn fois par rapport à x. 



» Si M et ç» ont des facteurs communs, R r= o ; les « valeurs de u corres- 

 pondant aux n racines de v s'obtiennent évidemment en faisant, dans la 

 relation (3), ^ = 0, ce qui donne l'équation connue, ordinairement em- 

 ployée pour démontrer le théorème de Lagrange relatif aux conditions 

 d'existence de solutions communes multiples. Mais nous pouvons aller 

 plus loin. 



)) Désignons par a, p, y, . . . des facteurs linéaires; par «,, c, des poly- 

 nômes premiers entre eux et avec a,, p, y, . . .; et supposons que u et v 

 soient, par exemple, de la forme 



u--= a.-[j-u^, r = a^pt'i, 



ce qui entraine, d'après le théorème de Lagrange, les conditions 

 (4) R = R,„=R,o = R„, = R„,r-R„3 = o. 



» L'équation (3) se réduit dès lors à 

 [ o =r - R,,a''[i'«,(^, 



( -^(R,„7.«'^v; + ... -h Ro^'^'^pv: )-(-.... 



1) Mais, puisque (5) a lieu quel que soit r, il ne peut y exister de terme 



