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S-, de huit points, savoir les trois droites Ij, T/, /, qui équivalent à sept, et 

 celui des points i, 2, 3, 4. 5, par lequel elle passe), ces cinq surfaces 

 devront former ensemble un faisceau projectif à celui des cinq plans 

 L"[i, 2, 3, 4, 5J. Il en sera de même des cinq coniques que le plan M y 

 découpe; ces courbes ont, par conséquent, un point oc commun, en outre 

 des points connus a, b,c, et ce point a; est précisément le point d'aboutis- 

 sement (inconnu) de la génératrice cherchée /'. Pour déterminer celle-ci, 

 on remarquera que, si l'on mène par l'iui des cinq points i, 2, 3, 4, 5, par 

 le point I par evemple, la droite qui s'appuie sur L et L', son point de 

 rencontre avec le plan M v complète, avec les points a, b, c, la base d'un 

 faisceau de coniques, traces sur ce plan du faisceau d'hyperboloïdes qui a 

 pour base cette droite et les trois droites L, L', /. On a donc, pour les cinq 

 points, cinq faisceaux semblables, et la question à résoudre pour trouver 

 le point X peut s'énoncer en ces termes : 



)) Problème auxiliaire. — Connaissant sur un plan cinq faisceaux, ou sys- 

 tèmes une fois infinis, de coniques (ayant toutes trois mêmes points communs 

 donnés o, b, c) , trouver cinq de ces courbes, appartenant aux cinq systèmes 

 respectivement, qui forment ensemble un faisceau, de base \ a, b, c, ic], projectif 

 à un faisceau plan de cinq droites données. 



)) La solution de ce problème a été donnée depuis longtemps ('); je me 

 borne à rappeler qu'elle exige qu'on puisse disposer de cinq points donnés, 

 comme c'est ici le cas, savoir deux à cause de la détermination à faire, sur 

 le plan M, du point inconnu x, et trois pour établir simultanément la pro- 

 jectivité des deux faisceaux. 



» Solution du problème II. — On connaît a priori sept points a, b, c, d, 

 e, f, g de la base du faisceau générateur de quadriques. Par les trois pre- 

 miers, par exemple, menons le plan M qu'ils déterminent (ce plan, qui 

 n'est plus arbitraire ici, va nous servir au même usage que dans le pro- 

 blème I). Les sept points précités (-) et, successivement, les cinq autres 

 points donnés i, 2, 3, 4. 5, déterminent cinq faisceaux de quadriques dans 



(') Essai sur la génération des courbes géométriques. § 27; t. XVI des Mémoires 

 des Savants étrangers à l'Académie. 



(^) Ces sept points, dont quatre seulement peuvent être pris arbitrairement, équi- 

 valent à dix conditions simples données, à cause des trois points dépendants a, b, c, 

 dont chacun doit se trouver sur une courbe déterminée et exige, pour sa propre dé- 

 termination sui- le |)lan M, deux de ces conditions, lin résumé, la détermination com- 

 plète de la base du faisceau de quadriques sur S^ exige toujours l'emploi de douze 

 conditions simples (Halphen, Classification des courbes gauches, § S). 



