( 2.. ) 



l'espace et, par suite, cinq faisceaux de coniques sur le plan sécant M. On 

 sait aussi que ces courbes ont en commun les trois points donnés a, h, c; 

 mais ici l'on ne possède plus, comme dans le problème I, la ressource com- 

 mode de génératrices rectilignes connues, telles que (L, L')i , (L, L')2, ..., 

 pour déterminer sur le plan M le quatrième point de la base de chacun 

 de ces cinq faisceaux de conic{ues. Ou est, par suite, obligé de déterminer 

 chacun de ceux-ci à l'aide de deux coniques, intersections du plan avec 

 deux quadriques quelconques de chaque faisceau; problème connu, 

 n'exigeant pas que l'on construise ces surfaces, dont on connaît, respec- 

 tivement, neuf points. D'ailleurs, ces deux coniques une fois déterminées, 

 on trouvera aisément leur quatrième point d'intersection. Ainsi le pro- 

 blème se trouve réduit, comme dans l'autre cas, au problème, ci-dessus 

 énoncé, de Géométrie plane. 



)) II. Essayons maintenant, en utilisant les résultats déjà obtenus, de 

 faire quelque lumière sur les voies à suivre pour arriver à la solution des 

 autres cas de la question générale qui restent à aborder. Quelles cjue soient 

 les données de S'', la question à résoudre (^onsiste toujours à déterminer 

 complètement les bases des deux faisceaux générateurs, dont quelques élé- 

 ments, sauf de rares exceptions, sont toujours inconnus a priori et doivent 

 être trouvés au moyen des données non utilisées. A cet égard : 



)i i" Si, parmi les données, il y a plusieurs droites, on ne peut attribuer 

 à la base du faisceau de quadriques plus de deux de celles qui ne se ren- 

 contrent pas; 



» 2° Si l'on a affaire à des points donnés, il n'est pas permis d'en attri- 

 buer plus de quatre à cette base; car tel est le nombre par lequel une 

 courbe gauche du quatrième ordre, et de première espèce, se trouve détei'- 

 miné(! sur une surface générale du troisième ordre ( ' ). 



(') Sur ce point iniporlant, voir le Mémoire de M. Rud. Suirm, intitulé : Sur les 

 courbes de In surface générnlc du troisième ordre {Math. Annalen, t. XXI, 

 p. 494)- Cette limitation, dont l'auteur donne la valeur numérique qui convient à 

 chacune des espèces de courbes des dix prenaiers degrés tracées sur S^, ainsi que la 

 méthode à suivre pour trouver celles relatives à tout autre degré, se présente néces- 

 sairement (avec d'autres valeurs numériques) dans toutes les courbes tracées sur une 

 surface algébrique quelconque. Comme il n'en a pas été tenu compte dans ma A'ote 

 sur la génération des surfaces algébriques, ni dans les deux qui l'ont suivie et en 

 découlent, les conclusions de ces trois Notes sont affectées par cette omission, ainsi 

 que j'en ai déjà fait la remarque. En particulier, dans la dernière d'entre elles (*), le 



(■) Voir los Comptes rendus, t. CVI, p. iô8. 



