< 2.2 ) 



» Il faut donc, dans l'un comme dans l'autre cas, trouver les éléments 

 nécessaires pour compléter la détermination de cette courbe dans l'espace 

 absolu, sans quoi l'on n'en pourrait faire usage comme base du faisceau 

 de quadriques. Il va sans dire que ces points complémentaii'es inconnus 

 doivent èX-ra particularises parmi ceux, en nombre infini, qui appartiennent 

 à la courbe gauche, car il n'y aurait pas de spéculations possibles à l'égard 

 de points qui ne seraient pas nettement désignés. Le moyen le plus simple 

 de le faire, et le plus commode, consiste ici (comme je l'ai fait dans les 

 exemples déjà étudiés) à les définir comme étant ceux où la courbe dont il 

 s'agit est coupée par un plan M, choisi, selon le cas, soit arbitrairement 

 (problème 1), soit dans des conditions indiquées par les données mêmes 

 de la question (problème II). De la sorte, la solution du problème se 

 trouve l'amenée (absolument dans plusieurs cas, et autant que possible 

 dans d'autres cas) à celle d'un problème de Géométrie plane. Mais, pour 

 qu'il en soit ainsi, il faut, avant toutes choses, obtenir, sur le plan M, un 

 équivalent univoque des données, restant disponibles, qui n'y sont pas 

 situées. Les exemples traités ci-dessus expliquent suffisamment en cjuoi 

 consiste cet équivalent; on en verra bientôt plusieurs autres. 



» III. Ces principes généraux une fois établis, il reste à tirer, au point 

 de vue de la marche à suivre pour aller plus avant, quelque enseigne- 

 ment des solutions déjà obtenues. Celles des deux problèmes ci-dessus et 

 du deuxième de ma Communication du 2G mars dernier laissent apercevoir 

 immédiatement que les problèmes de Géométrie plane d'où elles dérivent 

 sont les deux premiers termes d'une série de quatre questions de même 

 nature, dont la deuxième ( ' ) et les deux suivantes, de plus en plus élevées 

 dans l'ordre hiérarchique, peuvent être abréviativement comprises dans 

 l'énoncé (multiple) qui suit : 



nombre donné comme étant celui du maximum des points doubles, indépendants, 

 d'une surface ne peut être regardé comme étant l'expression précise de ce maximum, 

 tandis qu'au contraire il n'existe aucune limitation analogue dans les courbes planes, 

 pour lesquelles j'ai l'ait antérieurement la même recherche (*). Quant à la diflférence 

 entre les nombres de conditions par lesquels une même courbe gauche est déterminée 

 sur une surface donnée et dans l'espace, on en a un exemple familier sur la sphère, 

 où deux points sur la surface déterminent un grand cercle, tandis qu'il en faut trois 

 dans l'espace pour le déterminer. 



(') Le problème précité du 26 mars repose sur la solution de cette deuxième ques- 

 tion, présentée, il est vrai, sous une forme un peu moins générale que le sujet permettait. 



(■) Comptes rendus, t. CV, séance du 2i novembre 1S87. 



