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respectivement, aux ' ^^"j'^, - systèmes, telles que le système dont il s'agit soit 



\ quinze ' 



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 • .•/■ ' /- • , \ onze \ , 



projectij a un J aise eau de ■ ._^ l plans, passant respectivement par autant 



' quinze ] 

 de points donnés de S' et ayant tous pour arête commune une droite incon- 

 nue X quil s'agit de trouver simultanément. 



» IV. On se rend aisément compte que la solution de chacun de ces 

 problèmes conduit à celle d'un problème concernant la construction de S^, 

 et que leur ensemble embrasse tous ceux-ci. Par exemple, si les données 

 déterminantes de S^ sont une droite L et quinze points 1,2,..., i5, on 

 prendra L pour base du faisceau de plans, et quatre (quelconques) des 

 points donnés, soit ceux désignés par 12, rj, i4et i5, pour les éléments 

 partiels de la base du faisceau de qnadriques. Par ces qnatre points et, res- 

 pectivement, par chacun des onze points i, 2, . .., 11, il passe une infinité 

 de quadriques, foi-mant un système déterminé, quatre fois infini. Cloupons 

 la figure par un plan M arbitraire, mais ne passant par aucun des points 

 donnés. Chacun de ces onze systèmes de quadriques donne naissance, si;r 

 le plan sécant, à un système de coniques, pareillement quatre fois infini, 

 qu'on déterminera par cinq coniques du système, n'ayant pas de dépen- 

 dances mutuelles. On aura aussi sur le plan M les onze droites, traces des 

 plans menés par L et par les onze points i, 2, . . ., 1 1. La question de dé- 

 terminer les quatre points x, y, z, u, complémentaires de la base du fais- 

 ceau de quadriques, projectif à ce faisceau de onze droites, base dont on 

 connaît déjà les quatre points 12, i3, i4, i5 (qui la déterminent sur S% mais 

 non dans l'espace), n'est donc autre que le quatrième des problèmes A ci- 

 dessus. En effet, les qnadriques qui correspondent, une à une, aux onze 

 coniques (x, y, z, u)[i, 2, ..., 11] et sont déterminées par elles, respecti- 

 vement, formeront un faisceau, projectif à celui des coniques, donc à celui 

 des onze plans L[i, 2, . . ., 11]. Les intersections des surfaces correspon- 

 dantes des deux faisceaux engendreront une S' satisfaisant aux données, 

 qui est par conséquent la S^ demandée. Par suite aussi, non seulement les 

 quatre points trouvés x,y, z-, u sont situés sur cette S^, mais encore la 

 courbe gaucher'', que ces points déterminent avec les quatre 12, i3, i4 

 et i5, y est située tout entière, etc. » 



