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ALGÈBRE. — Sur les criteria des divers genres de solutions multiples communes 

 à trois équations à deux variables. Note de M. R. Perrix, présentée par 

 M. Halphen( ' ). 



(( Soient ;/, r, ir trois polynômes entiers en .r, y, des degrés m, n,p; 

 R leur résultant. En conservant les notations de mes précédentes Commu- 

 nications, ces polynômes et leurs dérivées partielles de tout ordre par rap- 

 port à .r et y sont liés par \(mnp -f- i) (mnp -+- 2) relations, savoir 



yj- (R3 „„;/■' -i-...+ 3R., ,„;<-(' H-...-I- 6R|| , unx^) 



et celles qui s'en déduisent par différentiation. 



» La relation (8) fournit immédiatement les conditions connues pour 

 que u passe par q des np points communs à c et w, savoir 



n = l\| 011 =^ 1*211(1 ^ . . . = "q—l 0(1 — ^ ^■ 



)i si, on particulier, u, doit passer par tous ces points, q z= np-^ et l'on 

 obtient ce théorème (extension d'une proposition évidente pour deux poly- 

 nômes à une variable) : 



» Si V et w sont deux courbes de degrés n etp, toute courbe u (de degré m) 

 qui passe par tous les points communs à v et w satisfait à une relation de la 

 forme 



(9) «'"'/'= Vr H- W(v, 



V et W étant des polynômes en u, r, tr, au plus des degrés n(mp — 1), 

 p(mn — i), par rapport à x el y ('-). 



( ') Voir, dans ce Volume, p. 22. 



(-) On verrait de même que toute surCace w assujettie à passer par tous les points 

 communs à trois surfaces u , r, iv, de degriis m, n p, satisfait à une relation de la 

 forme 



<m"''^p = u « + V c h- W (v, 

 et ainsi de suite. 



