( 220 ) 



» Supposons R = o; et soient m,, v^, <r,, ii,, c,, ua, les valeurs, au point 

 commun M, des dérivées partielles de ii, v, n', par rapjjort à .r et y. 

 En différentiant (8) et faisant u = i- = w = o, on obtient les deux rela- 

 tions 



(lo) R,oo", + Roio*'. -^- RooiC. — o, R,„„«„ + R„, „(',-)- R„„,(iv, = o. 



qui montrent : i'^' que, pour R,„„ -c o, on a — = — . c'est-à-dire i> et w tan- 



gentesenM; 2° que, pour Rofo = f^ooi =<>. l'»io(i<'J. on a 11 , =u, — o, c'est- 

 à-dire M point double sur u (cuspidal, si, en outre, Rj;, , = Ro2oRoo2)- 



» Supposons maintenant R = R,„„ = R„,„ = R„„, = o, ce qui entraîne 

 l'existence de deux points (distincts ou coïncidents) communs aux trois 

 courbes. En différentiant (8) deux fois et faisant w = (^ = tp = o, on ob- 

 tient les trois relations 



IRj„„?<; + Ro2o<';+ Roc2 <'^' + 2 R, ,„;/,(•, -t- aR,^,;/, ir, + aR,,,,*^,»-, = o, 

 R20»"l"2+ Rû20^l''2+ Ro02«'i"-'2+ Rno(«l^'2 + (^ «2 ) + = O, 

 R2„„W;;+ Ro20^'2+ R„02(l"o+ 2R, ,„;/.(', -h =:^ o. 



» Regardons pour un instant î<,, c,, n, , ?<., Co, n'., comme les coor- 

 données homogènes de deux points P,, P^. Les relations (u) expriment 

 que V, et Po sont sur une même conique T, et que chacun de ces points est 

 sur la polaire de l'autre par rapport à r : ce qui exige ou que P, et Po coïn- 

 ci'ieiit, ou que F se décompose en deux droites, dont l'une passe par P, 



et P.,. Dans le premier cas, on conclut que — = —' = —', c'est-à-dire aue 



^ ' 11.2 l'2 (T, T 



U, c, w sont tangentes, M et M' coïncident (ou encore l'une des trois 

 courbes a pour point double le point de contact des deux autres). Le se- 

 cond cas est donc seul compatible avec la situation séparée de M et M', et 

 il exige que le discriminant A de T soit nul. Mais il serait absurde d'ad- 

 mettre que A, constamment nul dans le cas général où M et M' sont dis- 

 tincts, cesse de l'être dans le cas particulier où ils coïncident : donc T est 

 loi/Jours décomposable. Je dis d'ailleurs que, si M et M' sont distincts, ils 

 correspondent à deux facteurs linéaires distincts; car, autrement, on au- 

 rait, en appelant w',, u.,, ... les valeurs des dérivées en M', quatre relations 

 telles que 



xu, -h [ic, -+- Ytv-, = o, y.u., -+- pr. + yw., = o, 



0Li(\ -h_{iv\ + yw\ = o, xii.^ -+- pc!. -I- y«-''^ = o. 



