( '-^2 1 ) 



d'où l'on tirerait, par un calcul facile, 



(o„-o„)(6;,-6;,) ^ 



(lo) 



(9„-9,v)(e;,-o:,) r,ir; 



en désignant les coefficients angulaires des tangentes à a, c, w en M par 

 0„, 6,„ 9„,, et en M' par O;,, O;., 0',^; par conséquent, étantdonnées les courbes 

 r, (F, et la direction de u en M, la relation (12) déterminerait a priori la 

 direction de u en M', ce qui est absurde. Donc, enfin, M et M' sont dis- 

 tincts ou coïncidents, suivant que F se décompose en deux facteurs dis- 

 tincts ou coïncidents. 



)) En oénéralisant ces considérations, on est conduit au théorème sui- 



u 



vaut : 



» Si la relation {%) est décomposée, en groupes homogènes par rapport à u, 

 (', w, celui de ces groupes de moindre degré q, dont tous les coefficients ne sont 

 pas nuls, est toujours décomposahle en q facteurs linéaires, correspondant aux 

 q points communs aux trois courbes; et les divers cas possibles d'égalité de ces 

 facteurs correspondent aux cas possibles de coïncidence des q points entre 

 eux. 



» On verrait sans peine ce qui se passe lorsque v et w admettent un fac- 

 teur commun ; ce qui précède suffit pour montrer comment la forme de la 

 relation (8) permet de distinguer les divers genres de solutions multiples 

 communes à trois équations à deux variables. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du premier ordre. 

 Note de M. Painlevé, présentée par M. Darboux. 



« Je me propose d'indiquer ici quelc|ues résultats généraux relatifs à la 

 théorie des équations différentielles du premier ordre. On connaît les 

 théorèmes de MM. Fuchs et Poincaré sur les équations dont l'intégrale 

 est uniforme ou n'admet que des points critiques fixes. Les équations que 

 nous voulons étudier sont celles dont l'intégrale générale ne prend dans le 

 plan qu'un nombre fini n de valeurs ou, plus généralement, n'admet dans 

 le plan que n déterminations se permutant autour des points critiques qui va- 

 rient avec la constante d'intégration. D'une manière plus précise, soit y (.r) 

 lUie intégrale quelconque de l'équation 



(i) pCj''/' ■^) = ^- 



