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» Cette intégrale présente dans le plan des points critiques dont les uns 

 restent fixes et dont les autres se déplacent quand la constante d'intégra- 

 tion varie : nous appelons les premiers points critiquesy?a7e5, les seconds 

 points critiques mobiles de l'intégrale. Supposons que nous partions du 

 point .To du plan des x avec la détermination /„ de j, et faisons parcourir 

 au point x un circuit fermé c[uelconque assujetti à la seule condition de ne 

 renfermeraucun des points critiques fixes de l'intégrale. Si, quelsque soient 

 .r„ etjo, on n'obtient pour y que « valeurs Vo, j,, ..., >'„_,, nous disons 

 que l'intégrale n'admet que n déterminations se permutant autour des points 

 critiques mobUes. Quand l'intégrale générale de (i) satisfait à celte condi- 

 tion, elle peut se mettre sous la forme 



(2) r"+ A, {x, C)r" -' + A,(.2-, C )/'-- +. . .+ A„(.r, C) =^ o, 



les A, étant des fonctions de x dont les points critiques ^oni fixes. 



» Nous admettons, dans ce qui va suivre, que la relation (\) est algé- 

 brique par rapport à j et y', et l'on peut toujours la supposer irréductible, 

 sauf pour des valeurs particulières de x, 



(i) F( V, y, x) = lB>„^(a7)yy^-= o; 



les B désignent des fondions quelconques de x. Nous appelons m le degré 

 de F en y et p le genre de la relation F = o entre y et y' (en regardant 

 dans cette relation x comme une constante). 



» En s'aidant de quelques propositions générales que j'ai démontrées 

 dans un Mémoire (' ) Sur les lignes singulières des /onctions analytiques, on 

 voit en premier lieu qu'une intégrale, qui, dans l'espace où elle est définie, 

 ne prend cjue n valeurs se permutant autour des points criticjues mobiles, 

 est définie dans tout le |ilan. Ceci suppose, toutefois, que les coefficients 

 B(a;) ne présentent pas de coupures fermées; dans ce cas, on se borne à 

 considérer la partie du phni limitée par les coupures. 



■» Quels que soient tl'ailleurs les coel'ficients B, si l'intégrale générale 

 n'admet, dans tout l'espace où elle est définie, que n valeurs se permu- 

 tant autour des points critiques mobiles, elle vérifie une équation de la 

 forme 



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C) Annales r/,- /a Faculté de Toulouse, p. 38-5; ; jaiiviei- 1888. 



