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oîi/représenle un polynôme en y et r„ de degré nm par rapport à y e\.y„ 

 respectivement. 



)) Ces propositions subsistent si l'on admet seulement que F est un 

 polvnôme en y et une fonction uniforme quelconque de y ne présentant 

 pas dans le plan des y (pour chaque système de valeurs y', x) de lignes 

 singulières. Il en résulte que l'intégrale générale ne peut, dans ce cas, 

 vérifier la condition énoncée que si F est aussi un polynôme par i-apport 

 ky. Si F est un polynôme par rapport à v et une fonction uniforme dey, 



on rentre dans le dernier cas en éliminant/ entre F := o et -7- = o. 



» Ces généralités établies ( ' ), il convient d'insister sur les divers modes 

 de représentation de l'intégrale, quand elle est de la forme (2). Outre la 

 relation (3), elle vérifie aussi une relation de la forme 



(4) y'^-H4.,n,y,(a•„),(.r•)]y'-' + ...^-RJr„,7;„(x„),(^„),(.r)]=o, 



où R, désigne une fonction rationnelle de r„,y, dont les coefficients dé- 

 pendent de j:\, et de a; d'une manière quelconque. Cette relation peut 

 aussi bien s'écrire 



y 4- R, [y, y, (x), (>r„)J.vr' + • • • + R„[,v,y,(a;;, (a-„)] = o. 



» Si, dans R, (y,y',x, j:'„), on remplace v et y' par une intégrale y^ {x) 

 et sa dérivéey (a;), la valeur de Rj est la même, quel que soit x, de sorte 

 que l'intégrale de (i) s'écrit encore 



a,- = l\i[y,y',(x), (>„)|. 



» Dans cette égalité, a, désigne une constante, et y' la fonction de r et 

 de X définie par la relation (1). Il est donc toujours possible de mettre 

 l'intégrale sous la forme 



(4) c = R[7,y,(^)] 



et cela d'une infinité de manières. Mais ou peut toujours choisir deux 

 formes de l'intégrale, telles que 



r = c[j,y,(a)], 



Y=C'[y,y',{x)], 



(') Aucune des remarques précédentes ne s'applique aux équations différentielles 

 d'ordie supérieur. 



