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(le manière qu'une intégrale (4) quelconque se déduise des précédentes 

 par une transformation rationnelle 



Entre y et y', il existe une certaine relation algébrique 



(5) A(y,y') = o. 



Si cette relation est de genre o, toutes les intégrales (4) se déduisent d'une 

 certaine d'entre elles par une transformation rationnelle C = ç(y). Si la 

 relation est de genre r, les intégrales (4) s'expriment rationnellement en 

 fonction de y et de \/(i — y^)(i — /:"y^). Enfin, quel que soit le genre de 

 (5), les R, s'expriment en fonction rationnelle de y et y', de sorte que l'in- 

 tégrale se met aussi sous la forme 



y" + R', [r- y'. (•^)]y'- + K [y- y'. U)\y"-' + • • ■ + K [y. y'. (^ )] = «. 



n est le nombre des valeurs de j qui se permutent effectivement autour des 

 points critiques mobiles; 7 et y' sont liés par la relation (5). Elle n'est 

 définie qu'à une substitution birationnelle près. Son genre - est au plus 

 égal n p : quand 77 = 0, l'intégrale s'écrit 



(6) y + R',[y, (.:r)J j"-' + R:[y,(.r)]j"- + . . . 4- R;, [y,(a;)J = o. 

 Quand - est égal à i , on a 



^^^ jy'+R;[yV(i-y^)(i-x-y^),(^)]y'-' + ... 



» Dans tous les cas, les intégrales y, y' établissent une correspondance 

 rationnelle entre les deux courbes algébriques A = o, F = o. 



» Cette dernière remarque joue un rôle essentiel dans l'étude des pro- 

 blèmes que nous nous proposons de résoudre; nous la développerons, si 

 l'Académie veut bien le permettre, dans une autre Communication. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les courbes de genre un. Note 

 de M. Otto Schlesingeii, présentée par M. HeriTiite. 



« Si l'on a deux fonctions doublement périodiques X(m), Y{u) aux 

 périodes co, o/, d'ordre n et ayant les mêmes infinis, les équations 



(i) .r = X(M), 7 = Y(m) 



