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représentent les points (•2", r) d'une courbe elliptique d'ordre n, à moins 

 que, d'après ces formules, chaque point (ar, y) ne se trouve lié avec/; pa- 

 ramètres a (non homologues). M. Humbert, dans une Note insérée aux 

 Comptes rendus (p. 1 1 87 ; 1 883), a avancé que, dans ce dernier cas, la courbe 



devra être unicursale et de degré - > c'est-à-dire que X et Y auront la 



forme 



X(M) = F[o(a)J. 

 Y(m) = G[ç(«)]. 



F et G étant des fonctions rationnelles, 9(m) une fonction doublement 

 périodique d'ordre/?. 



» Mais ce théorème n'est pas juste. Car, s'il subsistait, la somme des 

 paramètres a,, a^, . . ., «^ appartenant à un point quelconque de la courbe 

 serait évidemment constante, à des multiples près des périodes. Mais il 

 est facile de choisir, dans les équations (1), pour X, Y des fonctions telles 

 qu'à chaque point (>r, y) correspondent p valeurs de u dont la somme 

 varie d'un point à un autre. Je vais en donner un exemple. 



» Soient k, k' (^' |> i) deux entiers qui n'aient pas de diviseur commun 

 avec p. Mettons, pour abréger, 



f{U,i') = J,(W-(')j,^U- i' — 



r. , k (0 -+- k' t 



X Sr, (u — (^ — 2- 



^A-(o^-/x'( 

 u-v-{p~i) ~ 



» Soient ensuite (5,, îîj, . . ., S^» £,, £0, . . ., £v. Ci. 'C2. ..., ^v des valeurs, 

 arbitraires du reste, mais satisfaisant aux relations 



§, + . . . + §v = M -t- . . . 4- £v = 'Cl 4- . . . -h Cv, 

 et posons enfin 

 /•(».8,)/(K,g,l.../(»,c\) _^, ..^ f(u,^,)..../(a,t,,) _. y/■■^ 



/(",^.)y(«>?.)---/(",!;v)~^ -*' ^~/(«,ç.)-.-/(",Çv) ^ -'• 



» On démontre aisément que 



X(u + c j =X(u), Ylu + >j j = Y(«), 



(c = I, ...,/?— 1), 

 c'est-à-dire que chaque point a:, y de la courbe a/? paramètres (non homo- 



C. R., 1888, 2' Semestre. (T. CVII, N" 4.) ^^ 



