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autour des points critiques mobiles, n étant indéterminé. La théorie des trans- 

 formations rationnelles des courbes algébriques va nous permettre d'étu- 

 dier la question, quand on suppose le genre - de la relation (5) supérieur 

 ou égal à 1, mais elle ne fournit aucun renseignement sur le cas oii - 

 est nul. 



» Le problème de la transformation rationnelle des courbes algébriques 

 peut s'énoncer ainsi : 



» Soient 



(-■) /(j. =) -- o, 



([i) /,(7,,=,).-o 



deux courbes algébriques ; trouver toutes les fondions rationnelles 



telles que {y, z) parcoure { x) quand (y,, z,) parcourt ((î). 



» Nous avons démontré à ce sujet les propositions suivantes (Comptes 

 rendus, 3i octobre 1887) : 



» Si le genre p de (x) est nul, on peut toujours, quels que soient (a) et 

 (p), passer de (x) à (p) par une infinité de substitutions rationnelles; 

 ces substitutions renferment une fonction arbitraire du point analytique 



» Quand p = 1, on ne peut, en général, passer rationnellement de (x) 

 à (p). Pour que cela soit possible, il faut et il suffit qu'une intégrale de 

 première espèce de la courbe ((î) se ramène à une intégrale elliptique, 

 dont le module soit égal au module de (x). Il existe alors une infinité de 

 substitutions rationnelles qui dépendent au moins d'une constante et d'un 

 entier arbitraire. Elles renferment parfois plusieurs entiers arbitraires, 

 mais ne dépendent jamais d'un second paramètre continu. 



» Quand p est plus grand que i , on ne peut passer de (x) à ((3) que par 

 un nombre fini de substitutions rationnelles, et l'on détermine algébrique- 

 ment toutes ces substitutions. 



» Il convient d'ajouter que si le genre p, de (p), qui n'est jamais infé- 

 rieur k p, est égal à p(p >■ i), toute correspondance rationnelle entre (x) 

 et (P) est nécessairement birationnelle. Les courbes de genre o et i sont 

 les seules qui se laissent transformer en courbes de même genre, par des 

 substitutions simplement rationnelles. Enfin, quand la courbe (p) est hy- 

 perelliptique, il en est de même de la courbe ( x), 



G. l!., 1888, 2" Semestre. (T. CVII, N" ?.) ^2 



