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» On peut généraliser le pi'ublème précédent et se proposer de trouver 

 toutes les courbes (a) qui correspondent rationnellement à une courbe (p) 

 donnée. Quelle que soit (fl), toutes les courbes de genre o, ainsi que les 

 courbes qui ont même genre et mêmes modules que (p) répondent à la 

 question. Si p, = i, le problème est celui de la transformation des fonc- 

 tions elliptiques. Si /), est plus grand que i, tout revient à trouA'er des 

 courbes de genre plus grand que o et plus petit que /?,, qui correspondent 

 rationnellement à (p). Si une courbe (a) jouit de cette propriété, toutes 

 ses transformées birationnclles en jouissent également : nous regardons ces 

 diverses solutions comme formant une classe, et nous cherchons seule- 

 ment à obtenir un type de chaque classe. On reconnaît, par des opérations 

 purement algébriques, s' il existe de telles courbes (o.) de genre plus grand que i, 

 et l'on obtient algébriquement un type de chaque classe. Pour qu'il existe des 

 courbes (a) de genre i, il faut et il suffit qu'une intégrale de première espèce 

 de (P) se ramène aux intégrales elliptiques ('). 



)) Ces propositions suffisent pour résoudre immédiatement la question 

 suivante : Reconnaître si l'intégrale de (i) n'admet qu'un nombre fini (d'ail- 

 leurs inconnu) de déterminations se permutant autour des points critiques mo- 

 biles, la relation (5) étant supposée de genre t. plus grand que i. Autrement 

 dit, reconnaître si l'intégrale de (i) est de la forme (2), mais ne peut se 

 ramener aux formes particulières (G ) et (7) de la dernière ISote. On vérifie 

 algébriquement si l'intégrale satisfait aux conditions précédentes, et, dans 

 ce cas, l'intégrale s'obtient elle-même algébriquement. 



» Le même problème, quand on suppose t. ^i, est plus compliqué. On 

 reconnaît algébriquement si les conditions sont vérifiées, et l'équation s'in- 

 tègre alors par quadrature, ou bien on ramène l'équation à une équation 

 linéaire d'ordre p au plus {p est le genre de F). Dans les deux cas, si ■ïz=p 

 (77 n'est jamais supérieur à p), l'intégrale n'a que des points critiques 

 fixes (-). 



(') II est facile d'apercevoir la relation qui existe entre le pi'oljlème précédent et le 

 problème de la transformation des fonctions fiiclisiennes. 



(-) Les deu\ problèmes que nous venons de traiter renferment, comme cas particu- 

 liers, bien des questions plus simples : par exemple, reconnaître si l'intégrale de (i) 

 n'a que des points critiques fixes, ou qu'un seul point critique mobile, ou un seul con- 

 tact avec son enveloppe, etc. Dans ces divers problèmes, on connaît à l'avance une 

 courbe algébrique qui doit correspondre rationnellement à la courbe (i). Celte courbe 

 est une transformée rationnelle de (5). Si son genre est égal ou supérieur à 1, les ré- 

 sultats précédents s'appliquent. 



