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GÉOMÉTRIE. — Sur le volume engendré par un contour lié invariablement au 

 triédre d'une courbe, et, en particulier, sur une propriété des courbes de 

 M. Bertrand. Note de M. G. Kœmgs. 



« Dans mes Notes aux Comptes rendus du 26 mars et du 28 mai, j'ai 

 étudié les volumes engendrés par un contour fermé invariable, animé d'un 

 mouvement quelconque, et montré qu'un tel A^olume se représente par le 

 moment de deux systèmes de segments, systèmes dont l'un est attaché au 

 contour, et l'autre au mouvement. 



« Un cas particulièrement intéressant, c'est celui où le mouvement est 

 dirigé par une courbe, c'est-à-dire où le contour est lié invariablement au 

 trièdre Ox, Oj', Os formé par la tangente, la normale principale et la bi- 

 normale d'une courbe. 



)) Je représente, comme dans mes Notes précédentes, par A, B, C les 

 aires des projections, prises avec leurs signes, du contour fermé, sur les 

 plans de ce trièdre, et par L, M, N les secteurs de révolution engendrés 

 par le même contour tournant d'un angle unité autour de chacun des axes 

 Ox, Oj, Oz respectivement. Les quantités A, B, C, L, M, N sont les coor- 

 données du système de segments lié au contour. 



» Les coordonnées du système de segments lié à la torsion instantanée 

 qui produit le déplacement du trièdre et, par suite, du contour, sont, 

 comme on sait (voir Darboux, Cours de Géométrie, t. I, p. 10 ), 



ds ds , 



— >,,-' o, -fr) as, o, o, 

 1 ri 



où ^) K' ?p représentent l'arc et les courbures de la courbe directrice du 



mouvement. 



)> D'après le théorème que j'ai rappelé au début, et que j'ai démontré 

 dans mes premières Notes, le volume engendré dans la torsion élémen- 

 taire aura pour valeur 



• (A-^ + J)^, 



d'où, pour le volume correspondant à un arc fini PQ de la courbe direc- 

 trice, 



