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» Introduisons l'arc s = PQ et les arcs correspondants n, t de l'indica- 

 trice sphérique des tangentes (P. Serret) et de l'indicatrice sphérique des 

 binormales; l'expression précédente devient 



V = As -Lt + Ns; 



formule facile à retenir, et où le contour et la courbe directrice inter- 

 viennent par leurs éléments les plus simples. Cette formule conduit aisé- 

 ment au théorème qui termine ma Note du 28 mai; il serait facile d'en 

 déduire d'autres analogues. 



» Je m'arrêterai sur les considérations suivantes, qui mettent en évi- 

 dence une propriété nouvelle des courbes rencontrées par M. Bertrand 

 dans ses recherches sur les surfaces de normales principales. 



I) Soient un contour fermé donné et un trièdre trirectangle Occ, Oy, 

 Oz lié invariablement au contour. Cherchons à déplacer ce trièdi'e, de 

 façon qu'il demeure le trièdre d'une certaine courbe directrice, et que 

 les volumes engendrés par le contour soient proportionnels à l'arc de cette 

 courbe. 



» Nous devrons exprimer que l'on a 



A^ - Lt -+- N<t = R,v, 



où A, L, N, K sont des constantes données. La différentiation donne tout 

 de suite 



, L N ^ 

 — T ÏT — 



la courbe directrice doit donc être une courbe de M. Bertrand. On serait par- 

 venu à la même conclusion en assujettissant le volume à être propor- 

 tionnel soit à l'arc a, soit à l'arc t. 



» Je ferai remarquer, en terminant cette Note, que mes recherches 

 peuvent s'étendre aux volumes engendrés par des contours déformables, 

 sous certaines conditions. 



» Prenons, par exemple, un contour plan variable ; soit A l'aire variable 

 de ce contour, pris dans une certaine position; soit /'la distance du centre 

 de gravité de cette aire à la caractéristique du plan du contour, et enfin 

 appelons d^ l'angle infiniment petit formé par deux positions consécutives 

 du plan du contour; le volume engendré par le contour plan sera repré- 



