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 » [1 n'est pas possible d'identifier cette dernière équation avec la précé- 

 dente, si les coefficients a, h, c, . . .,ysont pris arbitrairement. La condi- 

 tion nécessaire et suffisante pour que l'identification soit possible s'ob- 

 tient en écrivant que les deux équations du premier ordre 



^ '' Ox ôy ù.v ôy 



sont vériliées par une même fonction ). de x et y. 



» On trouve ainsi très aisément une équation de condition F = o, F dé- 

 signant un polynôme par rapport aux: coefficients de l'équation (i) et leurs 

 dérivées partielles jusqu'au second ordre. La relation F ^ o sera évidem- 

 ment ituariarUe relativement à un changement quelconque fait sur les 

 variables indépendantes x et j, car la propriété qui nous occupe est indé- 

 pendante du choix de ces variables. 



» Quand la condition précédente est vérifiée, les coefficients A', B et A" 

 de la forme quadratique y sont déterminés; quant à B", B' et i\, ils sont 

 liés seulement par la relation 



\ désignant la solution commune aux équations (2). 



» Les équations linéaires, rentrant dans la catégorie précédente, joui- 

 ront d'une propriété remarquable, tout au moins dans certaines parties du 

 plan. Soit R une certaine région du plan à contour simple telle que, le 

 point {x,y) occupant une position quelconque à son intérieur, la forme 

 quadratiquey( V, V,, Vo) soit définie. Si l'on considère alors dans R une 

 aire A limitée par une courbe C, il existera une seule fonction \(^x, y), uni- 

 forme et continue dans A, et prenant sur le contour C une succession donnée 

 de valeurs. On reconnaît là la propriété fondamentale de l'équation de La- 

 place à deux variables, qui appartient évidemment à la classe précédente 

 d'équations linéaires. 



» Nous avons dit que, la condition F ^ o étant vérifiée, la forme qua- 

 dratique correspondant à l'équation linéaire reste arbitraire dans une cer- 

 taine mesure. 



» On pourra souvent tirer parti de cette indétermination pour étendre 

 les régions du plan oii la forme reste définie. Prenons, pour donner un 

 exemple, l'éqinition 



c. K., i88ii, u- Semestre. (T. CVII, N» 10.; (>2 



