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 mier ordre 



(3) i'I + qI^ + v^o, 



P, Q et R étant des polynômes du second degré en z et :;'. On a donc à 

 déterminer une fonction/de z et :;' satisfaisant à l'équation (3), et un con- 

 tour le long duquel s'annulent les expressions (2); certaines parties de ce 

 contour peuvent d'ailleurs être à l'infini. Déplus, il sera très avantageux 

 de ne pas se borner à la signification usuelle de l'intégrale double, mais 

 de prendre une telle intégrale avec le sens plus général que lui a donné 

 M. Poincaré, en considérant ;; et z' comme des variables complexes. 



» L'intégration de l'équation (3) revient à l'intégration de l'équation 



ordinaire du premier ordre 



dz' Q 

 rfj-p' 



que l'on ne sait pas intégrer d'une manière générale. Ce sera donc seule- 

 ment dans les cas, assez nombreux d'ailleurs, où l'on a pu ture complète- 

 ment l'étude de l'équation précédente que l'on pourra tirer parti de la 

 transformation qui nous occupe. 



)) 1. Un exemple assez général nous est fourni par l'équation suivante 



la méthode précédente conduit à deux types distincts d'intégrales renfer- 

 mant chacun une fonction arbitraire. J'indiquerai seulement le calcul dans 

 un cas particulier : c'est celui de l'équation d'Euler et de Poisson 



qui a fait l'objet d'une étude si remarquable de M. Darboux dans ses belles 

 Leçons sur la théorie des surfaces. 



» L'intégrale générale de l'équation en / sera, dans ce cas, 



f=:zS'-*z'^''-'0(z+z'), 



o désignant une fonction arbitraire. On a donc à considérer les intégrales 



doubles 



" V''e='-''=1*-' z'^'-' o(- + z') clzdz'. 



ff^ 



