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)) Supposons d'abord que l'on intègre dans le plan de la variable z le 

 long d'une courbe partant de l'infini et y revenant, et pareillement dans le 

 j)lan de la variable z' . On ajoute seulement la condition que e~-^ et e'-'^ s'an- 

 nulent à l'infini pour les chemins suivis. On obtiendra de cette manière, 

 quelle que soit la fonction o( :; -h s'), pourvu seulement que l'intégrale ait 

 un sens, une intégrale de l'équation avec une fonction ai"bitraire. En parti- 

 culier, en prenant pour ç une constante, on obtient ainsi la solution im- 

 portante x^'^y~^' . 



)) On peut obtenir aisément une autre solution. A la place de z , intro- 

 duisons la variable «< = - + z'; nous aurons l'intégrale 



C Ce^{^-y) e'o ,p- < ( ^^ __ - f- ' ,^ ( a ) dz du . 



» Prenons connue ligne d'intégration dans le plan de la variable u une 

 coiu'be quelconque C partant de l'infini et y revenant, puis dans le plan de 

 la variable z une courbe analogue C, ne rencontrant pas la première 

 quand on trace les deux courbes sur un même plan; enfin, g-'-^-^' et e"-*' sont 

 supposés s'annuler quand z et u s'éloignent à l'infini. On obtient ainsi une 

 autre solution de l'équation d'Euler, renfermant une fonction arbitraire. 



En particulier, si l'on pose ?(«) = - et que l'on prenne pour la courbe C 



une courbe fermée enveloppant l'origine, l'intégrale précédente se réduit 



à {x-yy-^-^'. 



» 2. Considérons un second type; c'est celui où dans l'équation (E) les 

 coefficients A, B, C se réduisent à des constantes, les autres coefficients 

 étant des fonctions linéaires quelconques de x el y. En remplaçant x eiy 

 par des fonctions linéaires convenables de nouvelles variables, on peut 

 supposer que D ne dépend que de x, et que E ne dépend que de y; on 

 peut encore, sans diminuer la généralité, supposer que F se réduit à une 

 constante. 



» Dans ces conditions, l'intégrale générale de l'équation en /"sera de la 

 forme 



p, m, ainsi que les coefficients x, ..., s, étant des constantes déterminées. 



w Pour définir l'intégrale double, on peut prendre tout d'abord dans les 

 plans des variables z et :;' deux courbes, partant de l'infini et y revenant, 

 sous la condition facile à réaliser que l'exponentielle ,.«='+P=='+y;" s'annule 



