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 (n — k — i) équations 



que l'on obtient en éliminant z, \, ix,, ..., a^ entre les équations (3). 



» Si l'on élimine >., ;x,, ..., [j.^, ;/,, . . ., zi„_^, entre les équations (i), (2), 

 (3), on obtient généralement une seule équation S(a-, y, :;) = o; la sur- 

 face représentée par cette équation est la surface de singularités de S„_/,+ ,; 

 dans le cas des systèmes Sj et S,, on obtient respeclivement la surface 

 focale de la congruence So et la surface sur laquelle sont réparties les 

 courbes de S,. 



» Si k est inférieur à (n — i), les courbes singulières forment une con- 

 gruence et sont tangentes à la surface de singularités qui est une des 

 nappes de la surface focale de la congruence. 



» Supposons que les équations (4) soient vérifiées par toutes les courbes 

 du système; on a le théorème suivant : 



» Si les fonctions 0,, 0^, ..., 0^ vérifient les équations (4), soit identique- 

 ment, soit en vertu des équations (2), les courbes du système S,,.;;^, défini par 

 ces dernières équations sont tangentes à une surface ou rencontrent une 

 courbe. 



)> Dans le cas où X- =; i, on retrouve le théorème de M. Kœnigs. 



» Les surfaces de singularités jouissent d'une propriété géométrique 

 qui peut leur servir de définition; considérons, par exemple, le système 83 

 ou complexe de courbes; on a la proposition suivante : 



» Les courbes du complexe passant par un point P de l'espace forment une 

 surface à point conique 7 ; le lieu du point P tel que l'une des courbes soit 



une ligne double de 'S est la surface de singularités ; la courbe qui forme la 

 ligne double est une courbe singulière. 



» Cette proposition s'étend à tous les svstèmes; il suffit de généraliser 

 les notions bien connues relatives aux droites doubles des conijjlexes et 

 congruences de droites. 



» Les surfaces de singularités des différents systèmes présentent entre 

 elles une liaison remarquable qui est indiquée par les théorèmes suivants : 



» La surface de singularités d'un système S^ contenu dans le système S„+, 

 est circonscrite à la surface de singularités de Sa+, . 



» La surface de singularités d'un système S„ contenu dans le système S^+o 

 est tangente en un nombre limité de points à la surface de singularités 

 de S„+.,. 



