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)) Si l'on suppose que l'élément considéré soit la droite, on retrouve les 

 propositions connues de la théorie des systèmes de droites. 



» Ces théorèmes peuvent être très utiles dans la recherche des surfaces 

 de singularités; nous le montrerons en considérant les systèmes linéaires 

 de cercles. 



» Soit le système A^ général défini par l'équation ^ r/,/,/?,/, = o; a, [i, 



y, S, î étant les cinq premiers nombres écrits dans l'ordre de permutation 

 naturelle i, 2, 3, 4> > i' partir de l'un d'eux, posons 



"«(»= rtp,.«5e+ rtp5«e.,.+ «pe«Y5. 



il y a cinq quantités i2a(«) formées avec les coefficients a,/,, assujettis à la 

 relation «,a = — f'^/î la surface de singularités du système A-, est la sphère 



qui a pour équation V £>,(«)j:-, == o, dans le système de coordonnées pen- 



1 

 tasphériqucs auquel est rapporté le système A^; c'est la spiière centrale K 

 qui, par son association avec un complexe linéaire de droites, permet de 

 définir le système A5. 



î> Si l'on considère un système Aj satisfaisant aux conditions renfermées 

 dans l'énoncé du théorème de M. Kœnie;s, tous les cercles de ce svstème 

 rencontrent une droite isotrope. 



» Un système A , est défini par deux équations V «,^^0,^, ^ o, V hu.Pik = o ! 

 la surface de singularités s'obtient en égalant à zéro le discriminant de la 



forme quadratique V £2,(aa-{- |36).r,- des deux variables a, ^ : c'est une 



1 

 cyclide. 



)) Un svstème A3 est défini par trois équations V «,-,/j,/,^ o, V 6,^/^,^ = o, 

 V r,7,/;,;i= o; la surface de singularités s'obtient en annulant le discrimi- 



nant de la forme quadratique ^ li,(7.rt 4- fi^ + ^'^)'^i îles trois variables a, 



1 

 P, y; c'est une surface du sixième degré admettant le cercle imaginaire de 

 l'infini comme ligne triple. 



» La surface focale de la congruence linéaire définie par les quatre équa- 

 tions ^ a,:i/7,vi = o, ^hikPih= ç>, 2^'''/^'''^"' ^ ^'/'/''/. = f^ s'obtient en 



