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annula allé (liscfiminant de la forme quadratiq ne ^i2,(aa-;-|ii^^YC + f/(\)3:?, 



des qualre variables :'., [3, y, S; c'est une surface du luiitième degré adinet- 

 lant le cercle imaginaire de l'infini comme ligne quadruple. 



» ÎjCs cercles du système A, défini par les cinq équations ^ «,a/^,7.— o, 



^^ikPih = o, y^Ci„p,i,=:o, ^di,,p,,--=o, Yf./,/j,.^=o sont répartis sur 

 une surface du dixième degré, dont on obtient l'équation en annulant le 



discriminantdelaformequadratiquc V î>;(aff + [ib -',- yc -}- ^cl + se)^;,- des 



cinq variables a, (3, S, y, s. Ils coupent une sphère quelconque suivant des 

 doubles-points dont les droites appartiennent à un complexe linéaire; les 

 axes de ces cercles appartiennent également à un complexe linéaire. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur l'intersection de deuj: courbes algébriques en un point 

 singulier. Note de M. G.-B. Guccia, présentée par M. Halphen. 



« Plusieurs géomètres se sont occupés, depuis longtemps, de la re- 

 cherche du nombi-e I des intersections de deux courbes o =; o, ji = o, con- 

 fondues en un point singulier P. L'on doit, en dernier lieu, à MM. Cayley 

 et Halphen d'avoir û\it connaître des solutions générales de ce problème 

 très délicat. Si je m'occupe de la môme question, c'est que mes récentes 

 recherches sur les points singuliers m'ont conduit, incidemment, à une 

 nouvelle expression générale du nombre I, laquelle, à cause de son 

 extrême simplicité et des nombreuses et fiïciles applications qu'elle peut 

 fournir, ne me semble pas dépourvue d'intérêt. 



» Désignons par [c] et [t] les singularités, bien déterminées, que les 

 courbes 7 = 0, A = o (des degrés m et /?) possèdent respectivement au 

 point P. La courbe 9, par exemple, qui, par hypothèse, n'est astreinte à 

 aucune autre condition en dehors du point P, appartient, en général, à un 

 système linéaire [ç] eee;!, <p, -+- T^^Ys -h . . . = o, dont la courbe mobile est 

 douée en P de la singularité [ff], et, de plus, est telle qu'aux environs de 

 ce point elle remplace identiquement la courbe 9 dans la manière dont 

 celle-ci se comporte vis-à-vis de la courbe i|>. Soit donc 9,. = o une autre 

 courbe de ce système. De même : soit "j/i = o une autre courbe du sys- 

 tème linéaire [i}/] ee^ ;j., ij/, + [J..^i -f- . . . = o, analogue au précédent. Sous ces 



