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 hypothèses, j'appellerai singularité composée [i + fj celle, bien déterminée, 

 dont toute courbe (x) ^^ ?^s -+- "^i"?/- = o ^^^ douée au point P ( ' ). 



» Soient E^, E-, E<;^- les abaissements du genre d'une courbe algébrique 

 produits par les singularités [n], |t], [a -+- -r]. 



» Appliquons au plan II du faisceau (/) une suite de transformations 

 quadratiques biratioiinelles ou, ce qui revient au même, une transforma- 

 tion Cremona, telle que, dans le plan transformé II', les courbes cp, o,., 'h, ^j/^ 

 soient représentées respectivement par des courbes <p', <p^., <]i', ^'^ ne pos- 

 sédant que des points multiples o/r/mafre^, et telles que dans chaque point 

 commun à deux quelconques de ces courbes les tangentes de l'une soient dis- 

 tinctes des tangentes de l'autre (-). 



» Puisque les courbes rp, cp^ sont du même degré m et possèdent la 

 même singularité, [-7], il s'ensuit que : 1" les courbes <p', o^ seront du même 

 degré [j.; 1° si l'une d'elles passe a fois par un point h du plan II', l'autre 

 passera aussi a. fois parce point. Il en est de même des courbes \' , '|,. 

 Ainsi donc le faisceau (-/J^<p'|j -f- }.'}cp,. = o, de degré m 4- n, sera trans- 

 formé dans le faisceau (/') eee^p'^J/^ -f- T^ij-'ç'^ = o, de degré \j. -i- v, qui possé- 

 dera : 1° des points-bases simples, correspondant aux points-bases de (y), 

 qui sont à distance finie du point P (savoir, les intersections, en dehors 

 de P, des courbes ç, '| ; 9, 9,.; '|, '|,; 9,., o,); 2° des points-bases multiples 



(') Posons, d"après Painvin {Bail, des Sciences matliém.. V série, t. V, p. iSg), 



J; = x"^'hg_„-+- j:;P4/,_p+i-t- xTJ-,,_y+2 4-. . . = o, 



cil o,, i/, désignent des fondions homogènes ea x, y, du degré ('. Il peut arriver que, 

 par la nature des singularités [a], [x] et des rapports mutuels des branches des deux 

 courbes aux. environs de l'origine, les coefficients des polynômes o,- (par exemple) 

 soient particularisés de manière à n'admettre, parmi eux, aucune arbitraire. Dans 

 ce cas, il est évident qu'on peut toujours substituer à la courbe ozzro une autre 

 courbe (f<')=:o, de degré plus élevé, douée de la singularité [a] et telle qu'aux envi- 

 rons de l'origine elle remplace identiquement la courbe tp dans la manière dont celle-ci 

 se comporte vis-à-vis de la courbe ^. La courbe o''' := o admettra, au moins, une arbi- 

 traire, et l'on pourra alors construire le faisceau (y), qui détermine la singula- 

 rité [a-t-"]- Ainsi, puisque les nombres li,, E,:, Ea+~, sont indépendants du degré des 

 courbes, notre démonstration, dans ce cas, n'en sera pas moins exacte. 



i"-) La possibilité d'une pareille démonstration découle de la théorie de résolulion 

 du point singulier, d'après M. Nœtlier. Voir, pour plus de détails, un récent Mémoire 

 de M. Bertini {Rend, ciel R. ht. Lonibardo, 2° série, t. XXI, p. 33i), où la proposi- 

 tion dont je fais usage est nettement énoncée et rigoureusement démontrée. 



G. R., 188S, 2- Semestre. (T. CVII, N° 17.) «7 



