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» 2° Que l'expression adoptée pour la flexion s'adapte parfaitement aux 

 observations; 



» 3° Que, maintenant, avec le nouveau bain de mercure, et pour la 

 détermination des coefficients de la flexion, on peut se servir avec un 

 grand avantage de la méthode basée sur les observations directes et réflé- 

 chies d'étoiles nord et sud ; 



» 4° Enfin, que le nombre 48°5o'io",9 représente, avec une haute 

 probabilité, la latitude du cercle de Gambey. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du premier ordre. 

 Note de M. P. Painlevê, présentée par M. Darboux. 



« Nous nous proposons de traiter ici la question suivante (' ) : 



» Reconnaître si l'intégrale de l'équation 



(i) F[r',y, (^)] = o 



n'admet qu'un nombre donne n de déterminations se permutant autour des 

 points critiques mobiles. 



)) Dans ce cas, l'intégrale vérifie une relation de la forme 



j«+j'-'R.[y„,7„,(^„),(a.)]+... 



+ R^b'o' 7o. (^o). {oc)] = X[j, 7;,7o. (^o), (»] = o, 



où Rj représente une fonction rationnelle de y„, Jo> 



R.-r;r'A;fr„,(^„),(^)] 



+ jr'A;[j'o, (^o), {oc}] +.. .4- a;"[7„, {x,), {x)\ 



(m étant le degré de F en j'). Le principe de la méthode consiste à déter- 

 miner une limite supérieure du degré auquel /„ figure dans les A^. Or l'in- 

 tégrale de {i) satisfait à une relation 



/[y>ro, {.0,}] =y«« + ^—'6, [r„, ^^)] -i- . . . ^ b,„„[v„, (^)j = o, 



où les B, renferment jo au plus au degré mn. D'autre part, soient X,, 

 Xa, . . ., X,„ les m valeurs de X qui correspondent pour une valeur de y,, 



(') Voir Comptes rendus des 23 et 3o juillet i888. 



