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 aux m valeurs dej,,; on a identiquement 



/[.y,yo,(.r)] = X,\,...X^, 



et cette identité permet de calculer la limite cherchée. Cela fait, on cherche 

 à déterminer le système de relations algébriques qui existent entre R, et 



-^, et entre R, et les {n — i) autres fonctions R, et l'on arrive en défini- 



tive aux résultats suivants : 



» On peut reconnaître par des opérations purement algébriques si l'intégrale 

 d'une équation (i) donnée ne prend que n valeurs autour des points critiques 

 mobiles (n étant donné); l'équation s'intégre alors algébriquement, ou par 

 quadrature, ou se ramène à une équation de Riccati. Le genre de la relation 

 entre les constantes intégrales est plus grand que i dajis le premier cas, égal 

 à I dans le second, nul dans le troisième. 



» En particulier, on vérifie par des opérations linéaires si l'intégrale 

 de (^i) est une fonction algébrique y{x) n'admettant qu'un nombre donné 

 n de déterminations, et l'intégrale s'obtient alors algébriquement. 



» Pour appliquer la méthode, il est souvent utile de ramener l'équation 

 à une forme plus simple à l'aide d'une transformation y, = ?[j'. y, {oc)\ 

 rationnelle en / et y. Parmi ces transformations, la plus simple est la 

 transformation homographiquc 



a y -:- 1> 



à laquelle on peut adjoindre le changement de variable a?, = '^(x). Nous 

 faisons de cette transformation et des invariants qui lui correspondent une 

 étude détaillée dans un Mémoire, dont cette ^ote et les deux précédentes 

 ne sont qu'un résumé sommaire, et qui paraîtra très prochainement. 



» Plusieurs des résultats obtenus s'étendent aux équations d'ordre su- 

 périeur. Soit, par exemple, 



(i)' F[/',/,r,(a;)]=.o 



une équation du second ordre où F est un polynôme en y'\y' et j. Si son 

 intégrale ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles, elle 

 satisfait à une équation 



