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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d'équations différentielles ré- 

 ductibles aux équations linéaires. Note de M. Appell, présentée par 

 M. Hermite. 



« Théorème. — Pour qu'une équation différentielle d' ordre n 



'i'Cr././. •••.y"0 = o, 



algébrique et entière par rapport à une fonction y de x et à ses dérivées, ad- 

 mette une intégrale générale de la forme 



(i) J^C,j,-hC,j„+...-F- C„+,J„^,, 



oùyf,y-2, . . ., Y„^, désignent (n + i) fonctions de x linéairement indépen- 

 dantes et C,,C.,, . , . , C,,^, , (n -h i) constantes liées par une relation algébrique 

 entière 



(2) 9(C,, Co, ..., C„_j.,) = o, 



il faut et il suffit qu'il existe une fonction 1 de x telle que l'expression 



se décompose en deux facteurs dont l'un soit linéaire et homogène en y, y', 



)> 1° Cette condition est nécessaire. En effet, formons l'équation diffé- 

 rentielle à laquelle satisfait la fonction y définie par l'équation (1). En 

 difïérentiant n fois cette équation (i), on a (« -t- i) relations 



(3) y^'=c,y;" + c,ji^'H-...+ c„^.j;;;, (i = o,i,2,...,n) 



qui, résolues par rapport à C,, Co, . . ., C„+,, donnent 



(4) A„C, = A,, AoC2=:A,, ..., A„C„+, = A„^,, 



où Ao désigne le déterminant dont les éléments sont 



j"'. .r;/'. •■■. fL (^ = «,n-.,..., 2,1,0), 



et A, le déterminant déduit de 1„ en y remplaçant y, par j. En portant 



