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 ces valeurs (4) de Ci.Co, ..., C„+, dans l'équation algébrique (2) sup- 

 posée de degré k et chassant le dénominateur aJ, on a l'équation différen- 

 tielle en y d'ordre 11 



K7.y.---7"")=A:?(^;4s...,^)^o, 



algébrique et entière G,\\y,y' , . . ., y^"K Le premier membre de cette équa- 

 tion est une fonction homogène de degré k de A,,, A,, A^, . . ., A,i+, ; on a 

 donc 



^ -^ dx dà^ dx d\i dx d\,_ dx ' ' ' t)-i«-n dx 



» Multiplions la première de ces relations par — -t-^, la seconde par A,, 

 et ajoutons, en remarquant l'identité 



Ao^ - A,-^ = D^,- (î = i, 2, ..., /H- i), 



oili D désigne le déterminant dont les éléments sont 



y'\ fi\ y/'. •••' y,L (j = n + i,n, n-i, ..., 2, i,o) 



et S, le mineur de A^ par rapport à l'élément y|"'; nous aurons 



» L'expression -^ — l'h est ainsi, pour "a = t- ^' décomposée en un 



■•o 



produit de deux facteurs dont l'un D est linéaire et homogène en j, j-', 



7 >•••■< J 



» 2" La condition est suffisante. En effet, si l'on a identiquement 



(7) :^-H=pQ. 



P étant un facteur linéaire et homogène en y, j', ..., j("+", ce facteur P 

 égalé à zéro donnera une équation linéaire homogène d'ordre (n-h i) dont 



