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 » Si l'on établit entre les quantités a^;), ^/^y, y^^ les relations 



(2) Ya). = «A, P->.'2 — y-/.i h, ij', 1=1,2), 



le système orthogonal c,„„ sera composé par les deux systèmes orthogo- 

 naux fl,„„ et b,„„ de façon que l'on ait identiquement 



/= AB, 



C„m= (Imib.n -i-fïm-2^«j -+-«;«;! ^«3 (m, /l = T, 2, 3). 



» Pour transformer ces expressions, je désigne par iv, ce des arguments 

 et par A,, A^; B,, B, des fonctions quelconques. En posant 



( îc,, = A, 2r3(»' + a-, y=), y-., = An'^3(}v — .r,q'^), 



^ ^ ' a,. = A, 2r.(tv + £c,y^), y..o = A,?:n(w — x,(/'), 



et, de plus, 



(5) a- -h X = ■2U^, n' — X = -211.,, y' + s = 2r,, y — ~ = ■H'.,, 



les équations (2) deviennent, au moyen des transformations du second 

 ordre, les suivantes 



(6) ya = AaB> 2r, (m^- + C),) r , (a^ — rx ) f^-, X = i , 2 ), 

 desquelles on tire encore 



(7) i = A, A,B, B, &, (».•) .^, (a-) &, ( j) &, (s). 



)) A l'aide des mêmes transformations du second ordre, on déduit des 

 équations (3) 



( ^Ïi + ^'i2= <A,(«,,+ '«2i) = Af 5^3(0) 3r3("'-l--î^). =<2i + «2.2= .%>{au — ia2^) = \l':3■J{o)%{a — jc), 



(8) I a^j — a'f.,==:/c!l,(a,,+ /«22)— AJ & (o):7 («•-ha'), a^ , — a^2== ' '^(''12 — ia«i)^Xl'^ (o)!j (tv — x), 

 ( 3 an a, 2=:/ As,{ai3-{-ia.23)z=A] '^■,(0) Sr, (iv-i-a:'), 2321022^* X(«i3^-/rt23) =A^ ^12(0) &2((v' — x), 



et, par conséquent, on obtient 



I a = A,A2&,(,r)&i('ï'), 



1 2Xa,,^?J,{o)lK\%{»' + x) + Al%{vf — ir)], 2jJl,a,2= 2r(o)[Aî &(«' + jr)H-A| &(«('— jc)], 



I 2jU,«2i=-3(o)[A?&3(.v + j;)-A|'&3((v — X)], ^Xcr^j^— S^(o)[A? S(.vH-x) — A| !ï(iv-a-)], 



(9) < /,Jl,«;„=A,A2S3(w)2r3(j;), A,a3,z^~AiX,?J{w)^(x), 



2{Jl.ai3= &2(o)[Aï :r2("' + -2-) + A^ 2?2((v — .r)], 



iXan-i=. — r-2(o)[ A? i,{w + x) — A^ 's,{w — .r )], 

 -Xa33 = — AjA, S2(ic) S.j( J'). 



