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 une équation différentielle que je suppose, pour fixer les idées, entière par 

 rapport aux dérivées y', y", ..., j'"', les coefficients de ces dérivées étant 

 des fonctions rationnelles de N fonctions 



a(", ..., a('\ ..., a'^'' 



de ce et de y, ces fonctions pouvant elles-mêmes s'exprimer rationnelle- 

 ment au moyen des coefficients de l'équation proposée. On peut supposer, 

 d'ailleurs, que quelques-unes de ces fonctions a''' ne contiennent que l'une 

 des variables; par exemple, pour une équation linéaire, ces fonctions a''' 

 se réduisent aux coefficients eux-mêmes et ne dépendent que de la va- 

 riable X. 



» Plaçons-nous dans le cas général et considérons un groupe de trans- 

 formations 



j^=:<p(X,Y), 



(3) 



tel que, par une transformation de ce groupe, l'équation (2) ne change 

 pas de forme, les fonctions a" étant remplacées simplement par N fonc- 

 tions nouvelles des variables X et Y, 



A(" A('>, ..., A<^'. 



Désignons, pour abréger, par 1, V, V, . . .; 1;., [j.', [;.", ... les fonctions arbi- 

 traires qui figurent dans les formules (3) et leurs dérivées. Il est clair que 

 les fonctions A''' s'exprimeront au moyen des fonctions a''' et de 1, X', V, ... ; 

 [j., [I.' , ]j" , . . .; les dérivées partielles 



s'exprimeront encore au moyen des mêmes quantités et, en outre, au moyen 

 des dérivées partielles des fonctions a"' jusqu'à l'ordre p + q. On aura donc, 

 en considérant toutes les dérivées partielles jusqu'à un certain ordre M, 

 une suite de relations de la forme 



/ A"') = n") (a"), . . . a"), ...■,\,\', r, ... ; p., (/, ;/', . . .), 

 (4) A';:^=--.ri';;/af'', ...a;;^, ...;X,V,V',...;f;.,i./,i..",...) 



( (i" + y^M). 



Les fonctions II'" et n'^^^ sont des fonctions parfaitement déterminées des 

 arguments qui y figurent. Si nous considérons pour un moment)., V,X",...; 



