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[j., [/, (/', . . . comme des paramètres, les formules (4) définissent un groupe 

 de transformalions ixu. sens de M. Lie; cela résulte immédiatement de ce 

 que les formules (3) définissent par hypothèse un groupe, de la nature de 

 ceux qui ont été considérés au début. Si l'on prend M assez grand, il ar- 

 rivera, en général, que, à partir d'une certaine valeur de M, les équa- 

 tions (4) contiendront moins de paramètres que de variables, et, par con- 

 séquent, il existera des fonctions des coefficients a''' et de leurs dérivées 

 telles que l'on ait identiquement 



(5) J(A<'',...,A;;:^,...,=.^(a''), . .,<!,,...)• 



[roiVLiE ('), loc. cit., p. 212 et 523.] Il y aura donc, pour l'équation (2), 



une suite indéfinie d'invariants, relativement à la transformation définie 

 par les formules (3). 



» Soient maintenant 0, , 0., . . ., Ô,„ des fonctions quelconques de x et de 

 j et 0,, 0o, . . ., 0,„ ce que deviennent ces fonctions après la substitu- 

 tion (3). Les dérivées partielles .^ ^^ s'expriment au moyen des dérivées 



partielles de 6^ jusqu'à l'ordre p + q et de a, y, 1", . ..; j^., [;.', ;/', . . . par 

 des formules telles que les suivantes : 



( (X-= 1,2, ...,w; /? + 9^ M). 



Les formules (4) et(^) définissent encore un groupe de transformations 

 au sens de M. Lie, si l'on y regarde X, \' , 1", . . .; ;j., p.', a", . . . comme des 

 paramètres arbitraires, et l'on aura de nouvelles relations telles que 



II) ^ 



PI' ■■■' d\Pd\''' J "V" ' '"''^P'''"" àePdf' 



dont on pourra, en faisant m = i, regarder les seconds membres comme 

 des covariants de l'équation (2). 



» Ces considérations s'étendent d'elles-mêmes aux systèmes d'équations 

 différentielles et d'équations aux dérivées partielles, ainsi qu'à la théorie 

 des formes de différentielles et des paramètres différentiels. Je me propose 

 de revenir sur quelques applications particulières de ces propositions gé- 

 nérales. 1) 



(') Voir aussi sur ce sujet une lellre de M. Halphen à M. Sylvester, insérée dans le 

 tome IX de V American Journal of Matheinatics. 



