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 en désignant par E le premier membre de (i) et en appelant u une inté- 

 grale s'annulant le long de C; l'intégrale double est étendue à Taire que 

 limite C. On transformera de suite cette intégrale en une autre de la 

 forme 



F désignant une forme quadratique en u, -j- el -^, les coefficients dépen- 

 dant de X et r. En général, cette forme ne sera pas définie pour x^ et r„, 

 et l'on ne peut pas conclure de là que u est identiquement nulle; mais 

 soient B et B' des fonctions continues quelconques de x et y, on aura ici 



» La somme des intégrales (2) et (3) sera donc nulle, et de même 

 forme que (2), et il ne reste plus qu'à faire voir qu'on peut déterminer 

 les fonctions B et B', de manière que l'on ait sous le signe d'intégration 

 une forme définie. On est ramené pour cela à un problème du genre sui- 

 vant : étant donnée une fonction 6 de x et j, déterminer autour de (a?o, j^) 

 une région du plan, où l'on puisse trouver deux fonctions continues B et B', 

 telles qvie 



" ■ ox ôy 



)) On voit, par ce détour, comment on pourra déterminer un certain 

 domaine autour de (a^o, y„) répondant à l'énoncé. 



» La question inverse se présente maintenant à nous; c'est le problème 

 réellement intéressant. J'établis qu'on pourra trouver autour de (^0, v^) 

 un certain domaine tel qu'une intégrale de l'équation sera effectivement 

 déterminée par ses valeurs le long d'une courbe fermée C appartenant à 

 ce domaine. J'indique la marche de la démonstration, qui est assez déli- 

 cate. Tout d'abord, nous ne diminuons pas la généralité, en supposant que 

 l'équation se réduit à 



d-u d-ii du j du 



dx- oy^ ox Oy 



» Considérons alors une courbe C que, pour éviter certaines difficultés 

 de détail, nous supposerons analytique, et donnons-nous sur cette courbe 

 une succession de valeurs que nous supposons fonction continue du para- 



