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 avoir eu connaissance de mon Mémoire : Eine neiie Théorie der Convergenz 

 und Divcrgenz von Reihen mit posltiven Gliedern (^Journal de Crelle-Borchardt, 

 t. 76, p. Gi ). 



» Eu appelant '^(/J) une fonction définie par l'équation 



Ip étant censée ne devenir ni nulle ni infinie, '{'(/^) peut être considérée 

 comme avant une limite nulle ou infinie, selon que la série iu^ est con- 

 vergente ou divergente. 



» La théorie nécessite encore l'introduction d'une fonction ç(/?) inter- 

 médiaire entre iip et '\i(p), qui satisfait à l'équation 



<]/(/?) = «/, 9 (/j). 



Entre ces quantités ont lieu les deux théorèmes que voici : 



» I. Soient <^{p) et Up des quantités positives . Si, en premier heu, 



l™[?(/'')- 9(^ + 0^ 



am7.p 



est positive, la série lUp est convergente. Soit, en second lieu, f^i^p) choisie de ma- 

 nière qu une série lu p ne puisse converger, à moins qu'on n'ait lim (p(/?)Mp=: o, 



la série 2 Up sera divergente toutes les fois que Uni <?(/') — ? (/^ + ' ) ^^ *^'"^ 

 négative, et alors lim (f(p)Up sera infinie. 

 » II. En éliminant Up entre les équations 



^{p) = Up':^{p), Uj,^ - [A(//) - ^(p + i;], 



'■/' 



on trouve facilement 



limVp étant = i, 





» Au moyen de ces deux théorèmes, qui me servent de point de départ 

 dans ma théorie, on déduit aisément les critères possibles avec le caractère 

 de nécessité absolue. Par exemple, on voit bien au premier coup d'ceil que 



les conditions pour o{p) du théorème I sont remplies, si ^ —^ — : est une 



série divergente, mais ce n'est qu'au moyeu du théorème II qu'on démontre 



