( 945 ) 

 hyperelliptique dont le genre peut être appelé le genre de V arc. Ce nombre 

 dépend de quatre sortes de singularités dont voici la nature et l'effet : 



» Si un point situé à distance finie est l'origine d'un cycle à tangente iso- 

 trope, le cycle étant d'ordre n et de classe v, le genre de l'arc est diminué de 

 n— I plus la partie entière de y '. 2. 



» Si un point situé à distance finie est l'origine d'un cycle à tangente non 

 isotrope, le cycle étant d'ordre n, le genre de l'arc est diminué de n — i. 



» Si la courbe admet une direction asymptolique non isotrope, et si au point 

 situé à l'infini dans cette direction correspondent n valeurs égales du para- 

 mètre t, le genre de V arc est diminué de n—i. 



» Si l'un des points cycliques est l'origine d'un cycle d'ordre n et de classe v, 

 le genre de l'arc est diminué de n plus la partie entière r/e (v — i) : 2. 



» II. De ces théorèmes généraux résulte la détermination de toutes les 

 cubiques unicursales dont l'arc est de genre inférieur à 3. 



» Les seules cubiques unicursales dont l'arc soit de genre 1 sont celles qui 

 présentent un rebroussement à distance finie et celles qui touchent la droite de 

 l'infini ou admettent une asymptote double. 



» Les seules cubiques unicursales dont l'arc soit de genre i (^intégrale 

 elliptique) sont celles qui présentent une des quatre singularités suivantes, à 

 l'exclusion des trois autres : 1° deux points d'inflexion à tangente isotrope, 

 situés à distance f nie ; 2" rebroussement à distance finie et contact avec la 

 droite de l'infini; 3° inflexion parabolique ou rebroussement parabolique à 

 l'infini ; 4° passage par les points cycliques. 



» Les seules cubiques unicursales dont l'arc soit de genre zéro sont : 1° les 

 courbes que représente en coordonnées rectangulaires l'équation 



{X -h l)y- — 27 Ix'- = o ; 



2° les paraboles semi-cubiques , obliques ou droites; 3"^ les cissoides, obliques 

 ou droites ; !f les courbes dont l'équation est 



(i) {y + l)y-~?>lx- = o. 



» Ces dernières sont les lignes de courbure de la surface minima de 

 M. Enneper. Elles sont connues aussi comme podaires négatives d'une 

 parabole par rapport à son loyer, et comme caustiques par réflexion d'une 

 parabole pour des rayons incidents perpendiculaires à son axe. Leur arc 

 est une fonction rationnelle des coordonnées a;, j. Mais il y a plus. Les 



