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MÉCANIQUE. — Sur un théorème relatif à l'attraction. 

 Note de M. Emile Picard. 



« Dans une récenle Leron au Collège de France, M". Bertrand a été 

 conduit, par des considérations géométriques, à énoncer comme très vrai- 

 semblable le théorème suivant : 



1) On a une famille de surfaces fermées telles que, si l'on couvre l'une quel- 

 conque d'entre elles d'une couche dont la densité soit en chaque point inverse- 

 ment proportionnelle à la distance à la surface infiniment voisine, l'attraction 

 de cette couche sur tout point intérieur est nulle. Dans ces conditions, les sur- 

 faces extérieures à la couche seront pour elle des surfaces de niveau. 



» Cette intéressante proposition peut s'établir comme il suit. Remar- 

 quons d'abord qu'elle sera évidemment démontrée, si nous prouvons que 

 la lamille des surfaces est isotherme. 



» Désignons pur f (oc, y, zj = X l'équation des surfaces; soient 



S une de ces surfiices ; 



A un point intérieur quelconque; 



r sa distance à l'élément d(j de S. 



» D'après l'énoncé, l'intégrale 



ff\m-(§f-m'^' 



étendue à S, ne dépend pas de la position de A. Or elle peut s'écrire 



(-) ffUl^dydz^p.dx^^- %dœdy\ 



et, en prenant deux surfaces S et S' (S' étant extérieur à S et correspondant 

 à la valeur \' du paramètre), nous pouvons dire que l'intégrale (2), 

 étendue à la face intérieure de S et à la face extérieure de S', est indépen- 

 dante de la position de A. Or une telle intégrale, d'après une transfor- 

 mation bien connue, est égale à l'intégrale triple 



